2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式


1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
[小题体验]
1．cos 45°cos 15°－sin 45°sin 15°的值为(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C． D．
答案：A
2．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为(　　 )
A． B．
C． D．1
答案：D
3．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.
答案：5
4．(教材习题改编)已知sin(α－π)＝，则cos 2α＝________.
答案：

1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．
[小题纠偏]
1．若sin＝，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选C　因为sin＝，所以cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝.
2．(2018·温州模拟)已知sin x＋cos x＝，则cos＝________.
解析：cos＝cos cos x＋sin sin x＝cos x＋sin x＝(sin x＋cos x)＝×＝.
答案：


[题组练透]
1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B．
C． D．－
解析：选A　因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
2．已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是(　　)
A．－　 　 　B．－　 　　C.　 　　D.
解析：选D　∵f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，∴tan x＝－3，∴tan 2x＝＝＝，故选D.
3．已知α∈，sin α＝，则cos的值为______．
解析：因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
所以cos
＝coscos 2α＋sin sin 2α
＝×＋×
＝－.
答案：－
4．已知cos＝，x∈.
(1)求sin x的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为x∈，
所以x－∈，
sin＝ ＝.
所以sin x＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.
(2)因为x∈，
故cos x＝－＝－ ＝－，
sin 2x＝2sin xcos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－.
所以cos＝cos 2xcos－sin 2xsin＝－×＋×＝.
[谨记通法]
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

[典例引领]
1．(2018·台州模拟)已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　由sin θ－cos θ＝－得sin＝，
∵θ∈，∴0＜－θ＜，∴cos＝.
＝＝＝＝2cos＝.
2．计算：的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选B　＝
＝＝＝.
3．计算：tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________.
解析：∵tan(20°＋40°)＝，
∴－tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°，
即tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
答案：
[由题悟法]
1．三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．

[即时应用]
1．(2019·金华十校联考)sin 5°cos 55°－cos 175°sin 55°的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D　sin 5°cos 55°－cos 175°sin 55°＝sin 5°cos 55°＋cos 5°sin 55°＝sin 60°＝.
2．若tan α＋＝，α∈，则sin ＋2coscos2α的值为____________．
解析：由tan α＋＝，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0，
所以tan α＝3或tan α＝.
因为α∈，所以tan α＝3，
所以sin＋2coscos2α＝sin 2α＋cos 2α＋＝sin 2α＋cos 2α＋＝·＋·＋＝·＋·＋＝×＋×＋＝0.
答案：0

[典例引领]
已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)．
解：∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，
∴cos＝ ＝，
sin＝ ＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
[由题悟法]
利用角的变换求三角函数值的策略
(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[即时应用]
1．已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan的值为(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选B　tan＝tan
＝
＝＝.
2．(2018·福建师大附中检测)若sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选A　cos＝cos＝－cos＝－＝－.


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·宁波模拟)已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　)
A． B．7
C．－ D．－7
解析：选A　因为α∈，sin α＝，所以tan α＝－，所以tan＝＝＝.
2．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D　依题意得cos2＝(cos α＋sin α)2＝(1＋sin 2α)＝.
3．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选A　因为sin α＝＋cos α，所以sin α－cos α＝，
所以＝
＝＝＝－.
4．(2019·衢州模拟)已知tan＝2，则的值为________．
解析：由tan＝＝2，解得tan x＝，所以＝＝.
答案：
5．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．
解析：由题可知，tan α＝＝2，
∴tan 2α＝＝－.
答案：－
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝(　　)
A．－ B．
C．－或0 D．或0
解析：选D　∵
∴或∴tan 2α＝0或tan 2α＝.
2．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C　由3cos 2α＝sin，可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.
3．若α∈，β∈，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C　∵0＜α＜，∴＜＋α＜，
∴sin＝.
又－＜β＜0，则＜－＜，
∴sin＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
4．(2018·“七彩阳光”联盟适应性考试)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－，2) B．[－，)
C．[，2) D．[0,2)
解析：选C　令f(x)＝sin 2x＋cos 2x－m＝0，则有m＝2sin.因为x∈，所以有2x＋∈，所以2sin∈[－，2]．因为有两个不同的零点，结合图形可知，m∈[，2)．
5．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于(　　 )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D　∵cos α＝，2α∈，
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，
sin 2α＝＝，
又∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝＝，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.
6．(2018·杭州二中模拟)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝________；tan 2α＝________.
解析：由sin α＋2cos α＝两边平方可得sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝，故＝，即＝，解得tan α＝3或tan α＝－.当tan α＝3时，tan 2α＝＝－；当tan α＝－时，tan 2α＝＝－.
答案：3或－　－
7．已知cos＝－，则cos x＋cos＝________.
解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝cos＝×＝－1.
答案：－1
8．(2018·安徽两校阶段性测试)若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________.
解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝，两边平方得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.
答案：
9．(2019·杭州七校联考)已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝.
因为tan α＝2，所以cos 2α＝＝－.
(2)因为α∈(0，π)，tan α＝2，
所以α∈.
因为cos 2α＝－，所以2α∈，sin 2α＝.
因为β∈(0，π)，cos β＝－，
所以sin β＝且β∈.
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝－.
因为2α－β∈，所以2α－β＝－.
10．已知向量a＝(sin ωx，cos ωx)，b＝(cos φ，sin φ)，函数f(x)＝a·b的最小正周期为2π，其图象经过点M.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(2α－β)的值．
解：(1)依题意有f(x)＝a·b＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)．
∵函数f(x)的最小正周期为2π，∴T＝＝2π，解得ω＝1.
将点M代入函数f(x)的解析式，得sin＝，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z或＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
∵＜φ＜π，∴＋φ＝，∴φ＝.
故f(x)＝sin＝cos x.
(2)依题意有cos α＝，cos β＝，而α，β∈，
∴sin α＝ ＝，sin β＝ ＝，
∴sin 2α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－，
∴f(2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝－×＋×＝.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知平面向量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，f(x)＝a·b＋4cos2x＋2sin xcos x，若存在m∈R，对任意的x∈R，f(x)≥f(m)，则f(m)＝(　　 )
A．2＋2 B．3
C．0 D．2－2
解析：选C　依题意得f(x)＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋sin 2x＝sin2x＋3cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋2＝2sin＋2，因此函数f(x)的最小值是－2＋2＝0，即有f(m)＝0.
2．设f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤对一切x∈R恒成立，则
①f＝0；②＜；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交．
以上结论正确的是________(填序号)．
解析：f(x)＝asin 2x＋bcos 2x＝sin(2x＋φ)，因为对一切x∈R，f(x)≤恒成立，所以sin＝±1，可得φ＝kπ＋(k∈Z)，故f(x)＝±sin.而f＝±·sin＝0，所以①正确；＝＝，＝，所以＝，故②错误；③明显正确；④错误；由函数f(x)＝·sin和f(x)＝－sin的图象可知(图略)，不存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交，故⑤错误．
答案：①③
3．已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
解：(1)coscos＝cossin
＝sin＝－，
即sin＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
∴cos＝－，
∴ sin 2α＝sin
＝sincos－cossin＝.
(2)∵α∈，∴2α∈，
又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.
∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.