2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第八章第二节点、线、面之间的位置关系

第二节点、线、面之间的位置关系


1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
2．空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系

(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．
②范围：.
(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(4)定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
[小题体验]
1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为________．
解析：点在直线上用“∈”，直线在平面上用“⊂”．
答案：P∈m，m⊂α
2．平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ＝________.

解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB⊂γ，所以R∈γ.又因为C，R∈β，故β∩γ＝CR.
答案：CR
3．以下四个命题中，正确命题的个数是________．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.
答案：1

1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
3．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．
[小题纠偏]
1．(2019·南京名校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是________．
解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．
答案：相交、平行或异面
2．在下列四个命题中，正确命题的个数为________．
①a，b是异面直线，则存在分别过a，b的平面α，β，使α∥β；
②a，b是异面直线，则存在分别过a，b的平面α，β，使α⊥β；
③a，b是异面直线，若直线c，d分别与a，b都相交，则c，d也是异面直线；
④a，b是异面直线，则存在平面α过a且与b垂直．
解析：因为a，b是异面直线，所以可以作出两个平面α，β分别过a，b，并使α∥β，所以①正确；因为a，b是异面直线，所以存在两个互相垂直的平面分别过a，b，所以②正确；因为a，b是异面直线，若直线c，d与a，b分别都相交，则c，d相交或异面，所以③不正确；因为a，b是异面直线，若a，b垂直，则存在平面α过a且与b垂直，若a，b不垂直，则不存在平面α过a且与b垂直，④不正确．
答案：2
3．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有________个．
解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面．
答案：4

　
[题组练透]
1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明：(1)如图，连结EF，A1B，CD1.
因为E，F分别是AB，AA1的中点，
所以EF∥A1B.
又A1B∥CD1，
所以EF∥CD1，
所以E，C，D1，F四点共面．
(2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，
所以CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
所以P∈直线DA.
所以CE，D1F，DA三线共点．
2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．
证明：因为AB∥CD，
所以AB，CD确定一个平面β.
又因为AB∩α＝E，AB⊂β，
所以E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，
因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
所以E，F，G，H四点必定共线．
[谨记通法]
1．证明点共线问题的常用方法
公理法
先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上
同一法
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上

2．证明线共点问题的常用方法
先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
3．证明点、直线共面问题的常用方法
纳入平面法
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助平面法
先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合

　
[典例引领]
如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论的序号为________．
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．
答案：③④
[由题悟法]

[即时应用]
1．上面例题中正方体ABCD­A1B1C1D1的棱所在直线中与直线AB是异面直线的有________条．
解析：与AB异面的有4条：CC1，DD1，A1D1，B1C1.
答案：4
2．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是______．(填上所有正确答案的序号)

解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．
答案：②④
　
[典例引领]
如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．

证明：法一：(反证法)假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，
所以直线a，b，c都在平面α内，
与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立，
所以AD和BC是异面直线．
法二：(直接证法)因为a∩c＝P，
所以它们确定一个平面，
设为α，由已知C∉平面α，B∈平面α，
则BC⊄平面α，
又AD⊂平面α，B∉AD，
所以AD和BC是异面直线．
[由题悟法]
证明直线异面通常用反证法，证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．有时也可以用直接法证明．
[即时应用]
如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
解：(1)AM与CN不是异面直线．理由如下：
连结MN，A1C1，AC.

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.
又因为A1A∥C1C，A1A＝C1C，
所以四边形A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．
(2)D1B与CC1是异面直线．证明如下：
因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，
所以B，C，C1，D1不共面．
假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，与ABCD­A1B1C1D1是正方体矛盾．
所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．




一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.
答案：③④
2．(2018·高邮期中)给出以下说法：
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②有三个不同公共点的两个平面重合；
③没有公共点的两条直线是异面直线；
④分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；
⑤一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．
其中正确结论的序号是________．
解析：在①中，不共面的四点中，任意三点不共线是正确命题，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面，故①正确；
在②中，有三个不同公共点的两个平面重合或相交，故②错误；
在③中，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故③错误；
在④中，分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面，故④错误；
在⑤中，一条直线和两条异面直线都相交，则由两条相交线能确定一个平面得它们可以确定两个平面，故⑤正确．
答案：①⑤
3．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．
答案：1或4
4．如图，平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．
解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．
答案：5
5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．
上述命题中正确的命题是____(写出所有正确命题的序号)．
解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．
答案：①
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．
答案：充分不必要
2．(2019·常州一中检测)如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有______条．
解析：∵EF是△OB1C1的中位线，
∴EF∥B1C1.
∵B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴与EF平行的棱共有4条．
答案：4
3．下列命题中，真命题的个数为________．
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；
④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.
解析：根据公理3，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.
答案：2
4．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是________．
解析：因为l⊂α，且l与n异面，所以n⊄α，又因为m⊥α，n⊥m，所以n∥α.
答案：n∥α
5．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是______(填序号)．
①EF与GH平行；
②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
解析：连结EH，FG，如图所示．
依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，
故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．
因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，
所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，
设交点为M.因为点M在EF上，
故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，
所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，
又AC是这两个平面的交线，
所以点M一定在直线AC上．
答案：④
6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．
答案：3
7．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
答案：②③④
8．(2019·通州月考)如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：∵HN∥DB，FH∥D1D，
∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵点M在四边形EFGH及其内部运动，
故M∈FH.
答案：M在线段FH上
9．(2018·南师附中检测)如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．

证明：设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1，如图．

因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以EQ綊A1D1.
又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，
所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q.
又Q，F分别是D1D，C1C的中点，
所以QD綊C1F，
所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q綊DF.
故B1E綊DF，所以四边形B1EDF是平行四边形．
10．如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形，
∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？说明理由．
解：(1)证明：因为G，H分别为FA，FD的中点，
所以GH∥AD，GH＝AD.
又BC∥AD，BC＝AD，
所以GH綊BC，所以四边形BCHG为平行四边形．
(2)四点共面，理由如下：由BE∥FA，BE＝FA，G为FA的中点知，BE∥FG，BE＝FG，
所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面．
又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如图所示，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，＝＝λ，＝＝μ，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；
②当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形；
③当λ≠μ时，四边形EFGH一定不是平行四边形；
④当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形．
解析：由＝＝λ，得EH∥BD，且＝λ，同理得FG∥BD且＝μ，当λ＝μ时，EH∥FG且EH＝FG.当λ≠μ时，EH∥FG，但EH≠FG，所以①②③正确，只有④错误．
答案：①②③
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
解析：如图，在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD＝Q，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1，EF，CD都相交．
答案：无数
3．如图所示，三棱柱ABC ­A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.
(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?
(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．
解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连结OF，过点O作OM⊥AC于点M.
因为侧棱A1A⊥底面ABC，
所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.
又因为EC＝2FB＝2，
所以OM∥FB∥EC且OM＝EC＝FB，
所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.
因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，
故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．
法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连结PQ，PB，BQ.
因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，
所以PQ∥AE，PB∥EF，
所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，
因为PB∩PQ＝P，PB，PQ ⊂平面PBQ，
所以平面PBQ∥平面AEF.
又因为BQ⊂平面PBQ，
所以BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．
(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．
易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE，
所以cos∠OFE＝＝＝，
所以BM与EF所成的角的余弦值为.