2020版数学（理）新设计大一轮人教A版新高考（鲁津京琼）讲义：第四章三角函数、解三角形第2节

第2节　同角三角函数基本关系式与诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用定义推导出诱导公式.

知 识 梳 理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α


口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
[微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(　　)
(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　)
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)
解析　(1)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝，
当k为偶数时，sin α＝－.
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2.(必修4P21A12改编)已知tan α＝－3，则cos2α－sin2α＝(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　由同角三角函数关系得
cos2α－sin2α＝＝＝＝－.
答案　B
3.(必修4P29B2改编)已知α为锐角，且sin α＝，则cos (π＋α)＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
解析　因为α为锐角，所以cos α＝＝，
故cos(π＋α)＝－cos α＝－.
答案　A

4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
解析　∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，
∴sin 2α＝1－＝－.
答案　A
5.(2019·济南质检)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　　)
A. B.－ C. D.－
解析　∵sin α＝－，α为第四象限角，
∴cos α＝＝，因此tan α＝＝－.
答案　D
6.(2018·上海嘉定区月考)化简：＝________.
解析　原式＝＝＝1.
答案　1

考点一　同角三角函数基本关系式　多维探究
角度1　公式的直接运用
【例1－1】 (2018·延安模拟)已知α∈，且sin α＝－，则cos α＝(　　)
A.－ B. C.± D.
解析　因为α∈，且sin α＝－>－＝sin，所以α为第三象限角，所以cos α＝－＝－＝－.
答案　A
角度2　关于sin α，cos α的齐次式问题
【例1－2】 已知＝－1，求下列各式的值.
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
解　由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
角度3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系
【例1－3】 已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值.
解　(1)由sin x＋cos x＝，
平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
由x∈(－π，0)，知sin x0，
所以cos x>0，则sin x－cos x