2021届浙江省高考数学一轮学案：第三章第7节　函数的图象与变换


第7节　函数的图象与变换
考试要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.

知 识 梳 理
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换

(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻转变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
[常用结论与易错提醒]
1.图象左右平移变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错.
2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.
3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到.(　　)
(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.(　　)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同.(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)
解析　(1)y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到y＝f(－1－x)的图象，故(1)错.
(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y轴对称，后者是两个函数的图象关于y轴对称，故(2)错.
(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图象不同，故(3)错.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1
C.f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1
解析　依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案　D
3.(2019·浙江名师预测卷)函数y＝(ex－e－x)sin|2x|的图象可能是(　　)

解析　由题可知函数f(x)＝(ex－e－x)sin|2x|是奇函数，故排除B，C；当x∈时，f(x)＞0，故排除D，故选A.
答案　A
4.若函数y＝f(x)在x∈[－2，2]的图象如图所示，则当x∈[－2，2]时，f(x)＋f(－x)＝________.

解析　由于y＝f(x)的图象关于原点对称，
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.
答案　0
5.若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________.
解析　在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示.由图象知当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解.

答案　(0，＋∞)
6.已知函数f(x)＝2x，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________；若把函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得函数的解析式为h(x)＝________.
解析　∵g(x)的图象与函数f(x)＝2x的图象关于x轴对称，∴g(x)＝－2x.把f(x)＝2x的图象向左平移1个单位，得m(x)＝2x＋1的图象，再向下平移4个单位，得h(x)＝2x＋1－4的图象.
答案　－2x　2x＋1－4

考点一　作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象：
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.

(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.
规律方法　画函数图象的一般方法
(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【训练1】 分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.
解　(1)∵y＝|lg x|＝
∴函数y＝|lg x|的图象，如图①.

(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.
考点二　函数图象的辨识
【例2】 (1)(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)

(2)(2020·杭州二中模拟)现有四个函数①y＝x|sin x|，②y＝xcos|x|，③y＝，④y＝xln|x|的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是(　　)

A.①④②③ B.①④③②
C.③②④① D.③④②①
解析　(1)显然f(－x)＝－f(x)，x∈[－π，π]，
所以f(x)为奇函数，排除A；
当x＝π时， f(π)＝>0，排除B，C.故选D.
(2)结合图形及函数的解析式可知y＝x|sin x|，y＝xcos|x|，y＝xln|x|都是奇函数，而y＝是非奇非偶函数，对比图象，第一个图象对应的解析式为③；对于函数y＝xcos|x|来说，当0＜x＜1时，y＞0，当x＝π时，y＜0，对比图象可知第二个图象对应的解析式为②；对于函数y＝xln|x|来说，当0＜x＜1时，y＜0，且当x＝1时，y＝0，对比图象可知第三个图象对应的解析式为④；对于函数y＝x|sin x|来说，当x＜0时，y≤0，当x＞0时，y≥0，对比图象可知第四个图象对应的解析式为①；由此可知按照图象从左到右的顺序对应的函数的序号正确的一组是③②④①，故选C.
答案　(1)D　(2)C
规律方法　(1)抓住函数的性质，定性分析
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复.④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)抓住函数的特征，定量计算
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【训练2】 (1)(2019·浙江名校新高考研究联盟三联)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是(　　)

A.f(x)＝·sin x B.f(x)＝·sin x
C.f(x)＝·cos x D.f(x)＝·cos x
(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(　　)


解析　(1)由图象可知该函数是偶函数，因为A，B的函数是偶函数，C，D是奇函数，故排除C，D.A，B中，因为f(π)＝0，取x＝，则A项中，f＝×＞0，B项中，f＜0，所以可以排除B，故选A.
(2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，x≥0，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.
答案　(1)A　(2)D
考点三　函数图象的应用　 多维探究
角度1　研究函数的性质
【例3－1】 (一题多解)设函数f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者.下列说法错误的是(　　)
A.函数f(x)为偶函数
B.若x∈[1，＋∞)时，有f(x－2)≤f(x)
C.若x∈R时，f(f(x))≤f(x)
D.若x∈[－4，4]时，|f(x)－2|≥f(x)
解析　法一　由f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，得f(－x)＝min{|－x－2|，(－x)2，|－x＋2|}＝f(x)，即函数f(x)为偶函数；如图，作出函数f(x)的图象，将f(x)的图象向右平移2个单位长度知f(x－2)的图象在[1，＋∞)上的部分位于f(x)的图象的下方，则有f(x－2)≤f(x)；令f(x)＝u≥0，则由图象知f(u)≤u，由排除法知D错误，故选D.

法二　若x∈[－4，4]，则0≤f(x)≤2，故|f(x)－2|＝2－f(x)≥f(x)等价于0≤f(x)≤1，所以当x∈[－4，4]时，|f(x)－2|≥f(x)不恒成立.否定一个结论，只需给出一个反例即可.取x＝4，则|f(4)－2|＝0