2020版数学（理）新设计大一轮人教A版新高考（鲁津京琼）讲义：第四章三角函数、解三角形第3节

 第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考试要求　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．

知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
[微点提醒]
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β
＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2.(必修4P127T2改编)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
解析　∵α是第三象限的角，
∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
答案　C
3.(必修4P146A4(2)改编)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________.
解析　∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝－tan 20°tan 40°，
∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
答案　

4.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)
A. B. C.－ D.－
解析　因为sin α＝，cos 2α＝1－2sin2α，
所以cos 2α＝1－2×＝1－＝.
答案　B
5.(2019·青岛一模)已知角α是终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝(　　)
A. B. C.－ D.－
解析　由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，
则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°
＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°
＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝.
答案　A
6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析　由sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
两式平方相加，得2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，
整理得sin(α＋β)＝－.
答案　－

考点一　三角函数式的化简
【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
(2)化简：(0