2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第1章第3节 全称量词与存在量词
展开第三节 全称量词与存在量词
[考纲传真] 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对会有一个量词的命题进行否定．
1．全称量词和存在量词
量词名称 | 常见量词 | 符号表示 |
全称量词 | 所有、一切、任意、全部、每一个等 | ∀ |
存在量词 | 存在一个、至少有一个、有些、某些等 | ∃ |
2.全称命题和特称命题
名称 形式 | 全称命题 | 特称命题 |
结构 | 对M中的任意一个x，有p(x)成立 | 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 |
简记 | ∀x∈M，p(x) | ∃x0∈M，p(x0) |
否定 | ∃x0∈M，p(x0) | ∀x∈M，p(x) |
含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词． ( )
(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )
(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词． ( )
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，非p(x)的真假性相反． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的等差数列也是等比数列；
③三角形的内角和是180°.
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
3．下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1＞0
B．∀x∈N*，(x－1)2＞0
C．∃x∈R，lg x＜1
D．∃x∈R，tan x＝2
B [对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，故B项是假命题．]
4．命题：“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定为________．
∀x∈R，x2－ax＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．]
5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[－8,0] [当a＝0时，不等式显然成立．
当a≠0时，依题意知
解得－8≤a＜0.
综上可知－8≤a≤0.]
| 全称命题与特称命题的辨析 |
【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对任意x∈N,2x＋1是奇数；
(2)每一个矩形的对角线都互相平分；
(3)对任意x∈R，－x2－1＜0；
(4)对某些实数x，有3x＋2＞0；
(5)存在x0∈Q，x＝3；
(6)不相交的两条直线是平行直线．
[解] (1)是全称命题．因为对任意x∈N,2x＋1都是奇数，所以“对任意x∈N,2x＋1是奇数”是真命题．
(2)是全称命题．由矩形的性质可知此命题是真命题．
(3)是全称命题．因为对任意x∈R，－x2－1＜0恒成立，所以是真命题．
(4)命题中含有存在量词“某些”，故为特称命题，又当x＞－时，3x＋2＞0，故命题为真命题．
(5)含有“存在”量词，故为特称命题，由于使x2＝3成立的实数只有x＝±，不属于有理数，故命题为假命题．
(6)是全称命题．不相交的两条直线还可能是异面直线．故是假命题．
[规律方法] 判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤,
1首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题.
2若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题.
3当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.
用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)有理数都能写成分数形式；
(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；
(3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.
[解] (1)任意一个有理数都能写成分数形式．
(2)存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立．
(3)存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.
含有一个量词的命题的否定 |
【例2】 (1)(2019·武汉模拟)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2
(1)A (2)D [(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.
(2)结合全(特)称命题的否定形式可知，D选项正确．]
[规律方法] 1.对全称(特称)命题进行否定的两步操作
(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
2．全称命题、特称命题的真假判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．
(1)命题：“∃x0＞0，使2x0(x0－a)＞1”，这个命题的否定是( )
A．∀x＞0，使2x(x－a)＞1
B．∀x＞0，使2x(x－a)≤1
C．∀x≤0，使2x(x－a)≤1
D．∀x≤0，使2x(x－a)＞1
(2)下列命题中，真命题是( )
A．∀x∈R，x2－x－1＞0
B．∀α，β∈R，sin(α＋β)＜sin α＋sin β
C．∃x∈R，x2－x＋1＝0
D．∃α，β∈R，sin(α＋β)＝cos α＋cos β
(1)B (2)D [(1)命题的否定为∀x＞0，使2x(x－a)≤1，故选B.
(2)因为x2－x－1＝2－≥－，所以A是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B是假命题．x2－x＋1＝2＋≥，所以C是假命题．当α＝β＝时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D是真命题，故选D.]
根据命题的真假求参数的取值范围 |
【例3】 (1)已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,3)
C．(－3，＋∞) D．(－3,1)
(2)已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p和q都是假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，为真命题，
则Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，
则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3，故选B.
(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.
因此，由p，q均为假命题得
即m≥2，故选A.]
[规律方法] 根据命题的真假求参数的取值范围的方法与步骤
1求出当命题p，q为真时所含参数的取值范围.
2根据命题p，q的真假情况，利用集合的运算并、交、补求出参数的取值范围.
已知命题p：∀x∈[1,2]，使得ex－a≥0.若非p是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，e2] B．(－∞，e]
C．[e，＋∞) D．[e2，＋∞)
B [非p是假命题，则p是真命题，当x∈[1,2]时，e≤ex≤e2，由题意知a≤(ex)min，x∈[1,2]，因此a≤e，故选B.]
