2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第五章第二节平面向量的基本定理及坐标表示

第二节平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[小题体验]
1．已知M(3，－2)，N(－5,2)，且＝ ，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
又＝(－8,4)＝(－4,2)，
∴解得故点P的坐标为(－1,0)．
答案：(－1,0)
2．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
解析：因为a∥b，所以－2m－4×3＝0，解得m＝－6.
答案：－6
3．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)
解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以＝＝(＋)＝ (＋)＝(5e1＋3e2)＝e1＋e2.
答案：e1＋e2

1．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
[小题纠偏]
1．已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
解析：设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得故顶点D的坐标为(1,5)．
答案：(1,5)
2．已知向量m＝(λ－1,1)，n＝(λ－2,2)，若m∥n，则λ＝________，此时|n|＝________.
解析：由m∥n可得2(λ－1)＝λ－2，解得λ＝0，此时|n|＝＝2.
答案：0　2

　
[题组练透]
1．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为________．

解析：以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
由题图可得e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3，1)，
因为a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，
则解得故a＝－2e1＋e2.
答案：a＝－2e1＋e2
2．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
解析：设＝k，k∈R.
因为＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k＝(1－k)＋，
又＝m＋，
所以解得k＝，m＝.
答案：
3．(易错题)如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.
解：因为＝－＝a－b，
＝＝a－b，
所以＝＋＝a＋b.
因为＝a＋b，
所以＝＋＝＋
＝＝a＋b，
所以＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.
[谨记通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
　

[题组练透]
1．已知向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b＝________.
解析：由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b＝(－6,8)＝(－3,4)．
答案：(－3,4)
2．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为________．
解析：＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，
设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
所以即故N(2,0)．
答案：(2,0)
3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以
解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
所以M(0,20)．
又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
所以N(9,2)，所以＝(9，－18)．
[谨记通法]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
　
[典例引领]
已知O为坐标原点，向量＝(3，－4)，＝(5，－3)，＝(4－m，m＋2)．
(1)若D，求证：对任意实数m，都有∥；
(2)若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足什么条件？
解：(1) 证明：由题意，＝－＝(2,1)，＝－＝.
因为2－1·(m－4)＝0，所以∥.
(2)＝－＝(2,1)，＝－＝(1－m，m＋6)．
若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线．
当A，B，C三点共线时，存在λ使＝λ，即(2,1)＝λ(1－m，m＋6)，
得解得m＝－.
所以当m≠－时，点A，B，C能构成三角形．
[由题悟法]
1．平面向量共线的充要条件的2种形式
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2．共线问题解含参，列出方程求得解
向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
[即时应用]
1．(2018·海安期末)若A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为________．
解析：∵A(2,3)，B(3,2)，C，
∴＝(1，－1)，＝，
又∵A，B，C三点共线，
∴＝，解得m＝.
答案：

2．(2018·苏州中学检测)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)∥(m－n)，则λ＝________.
解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)∥(m－n)，
所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0.
答案：0
3．(2019·连云港调研)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，x)，若a∥b，则实数x＝________.
解析：由向量a＝(1,2)，b＝(－2，x)，且a∥b，
可得x＝－2×2＝－4.
答案：－4

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1．(2019·南通检测)已知点A(－1,2)，B(2,8)．若＝－，＝，则的坐标为________．
解析：∵A(－1,2)，B(2,8)，∴＝(－3，－6)，
则＝－＝(1,2)，＝＝(2,4)，
∴＝－＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)．
答案：(1,2)
2．(2018·南京学情调研)设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，则实数x的值是________．
解析：因为a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，所以c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4.
答案：4
3．(2018·苏州中学测试)已知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)，＝＋t (t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．
解析：设点P(x，y)，则由＝＋t (t∈R)，
得(x－2，y－1)＝(1,4)＋t(1,1)＝(1＋t,4＋t)，
所以解得
由点P在第二象限，得
所以－5＜t＜－3.
答案：(－5，－3)
4．(2018·苏州期末)已知向量＝(m,5)，＝(4，n)，＝(7,6)，则m＋n的值为________．
解析：∵向量＝(m,5)，＝(4，n)，
∴＝－＝(4－m，n－5)，
又＝(7,6)，∴解得m＝－3，n＝11，
∴m＋n＝8.
答案：8
5．(2019·启东月考)已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x＞0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为________．
解析：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，
由(a－2b)∥(2a＋b)，
得(8－2x)(x＋1)＝(16＋x)，
解得x＝4(负值舍去)．
答案：4
6．(2018·泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，)，则|＋＋|的取值范围是________．
解析：因为AB＝2，所以AB的中点M在以原点为圆心，1为半径的圆上运动(如图所示)，则|＋＋|＝|2＋|，当M点为射线OP与圆的交点时，|2＋|的最小值为7，当M点为射线OP的反向延长线与圆的交点时，|2＋|的最大值为11，所以|＋＋|的取值范围是[7,11]．
答案：[7,11]
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1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝________.
解析：由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，
所以解得所以c＝(－23，－12)．
答案：(－23，－12)
2．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．
解析：由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，
则＝(－3λ，)，
由∠AOC＝30°，知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，
所以tan 150°＝，即－＝－，所以λ＝1.
答案：1
3．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ (λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ＝________.
解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.
答案：－
4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．
解析：如图，因为＝a，＝b，
所以＝＋＝＋＝a＋b.
因为E是OD的中点，
所以＝，
所以|DF|＝|AB|.所以＝＝(－)＝×＝－＝a－b，
所以＝＋＝a＋b＋a－b＝a＋b.
答案：a＋b
5．已知a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝(1,2)，|c|＝2，且a∥c，则向量c＝________.
解析：设向量c＝(x，y)，因为a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝(1,2)，|c|＝2，且a∥c，可得2x＝y，并且x2＋y2＝20，解得x＝2，y＝4或x＝－2，y＝－4.所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
答案：(2,4)或(－2，－4)
6．(2018·白蒲中学高三期末)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为________．
解析：因为a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
答案：(0,2)
7．(2018·溧水高级中学测试)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：由题意得，＝k (k＜0)，又|k|＝＜1，所以－1＜k＜0.又因为B，A，D三点共线，所以＝λ＋(1－λ)，所以m＋n＝kλ＋k(1－λ)，所以m＝kλ，n＝k(1－λ)，所以m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.

解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
因为c＝λa＋μb，
所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
答案：4
9．(2019·淮安一模)已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋m b，且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵k a－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
解得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，
∴存在实数λ，使得＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)＝λa＋λmb，
又a与b不共线，∴解得m＝.
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)，a∥.
(1)若||＝||，求向量的坐标；
(2)求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．
解：(1)因为＝(cos θ－1，t)，
又a∥，所以2t－cos θ＋1＝0.
所以cos θ＝2t＋1.①
又因为||＝||，所以(cos θ－1)2＋t2＝5.②
由①②得，5t2＝5，所以t2＝1.所以t＝±1.
当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t＝－1时，cos θ＝－1，
所以B(－1，－1)，所以＝(－1，－1)．
(2)由(1)可知t＝，
所以y＝cos2θ－cos θ＋＝cos2θ－cos θ＋＝＋＝ 2－，
所以，当cos θ＝时，ymin＝－.

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1．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足＝(＋)，＝＋，则△APD的面积为________．
解析：法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，＝(＋)，又＝(＋)，所以点D是AE的中点，AD＝.取＝，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知＝＋＝＋.而△APD是直角三角形，AF＝，所以△APD的面积为××＝.

法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为等边三角形ABC的边长为4，
所以B(－2，－2)，C(2，－2)，
由题知＝(＋)＝[(－2，－2)＋(2，－2)]＝(0，－)，
＝＋＝(0，－)＋(4,0)＝，
所以△ADP的面积为S＝||·||＝××＝.
答案：
2．(2018·启东中学检测)在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得＝λ＋(1－λ)成立，此时称实数λ为“向量关于和的终点共线分解系数”．若已知P1(3，1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，则“向量关于和的终点共线分解系数”为________．
解析：设＝(x，y)，则由∥a，知x＋y＝0，于是＝(x，－x)，设＝λ＋(1－λ)，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即于是4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.
答案：－1
3．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a＞0，b＞0.
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；
(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．
解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)，
解得
故a＝2，b＝2.
(2)因为＝(－a，b)，＝(2,2－b)，
由A，B，C三点共线，得∥，
所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，
因为a＞0，b＞0，
所以2(a＋b)＝ab≤2，
即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，
解得a＋b≥8或a＋b≤0.
因为a＞0，b＞0，
所以a＋b≥8，
即a＋b的最小值是8.
当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．