2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第五章第一节平面向量的概念及其线性运算

第一节平面向量的概念及其线性运算


1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称)
平面向量是自由向量
零向量
长度为的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的 单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0

2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|；
当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；　
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[小题体验]
1．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝________.
解析：如图，因为在△ABC中，＝c，＝b，且点D满足＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋ ＝b＋c.
答案：b＋c
2．下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；　　　　②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若|a|＝|b|，则a∥b; ④若a＝b，则|a|＝|b|.
其中正确命题的序号是________．
答案：④
3．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
解析：因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，
则所以λ＝.
答案：

1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
[小题纠偏]
1．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案：2
2．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q.
若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，
即a＝λb，且λ＞0，故qp．所以p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
3．已知向量i与j不共线，且＝i＋m j，＝n i＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是________．(填序号)
①m＋n＝1；②m＋n＝－1；③mn＝1；④mn＝－1.
解析：由A，B，D共线可设＝λ，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此即有mn＝1.
答案：③

　
[题组练透]
1．给出下列六个命题：
① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形；
④在平行四边形ABCD中，一定有＝；
⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中错误的命题是________．(填序号)
解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；＝，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，故③不正确；零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．
答案：①②③⑥
2．给出以下命题：
①对于实数p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb；
②对于实数p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa；
③若 pa＝pb(p∈R)，则a＝b；
④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.
其中正确的命题是________．(填序号)
解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知①②④正确；当p＝0时，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b，故③不正确．
答案：①②④
[谨记通法]
有关平面向量概念的6个注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的 单位向量．
(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
　
[题组练透]
1．如图，在△ABC中，＝＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

解析：由题意，＝，＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
又＝λ＋μ，
∴λ＝μ＝，λ＋μ＝.
答案：
2．(2019·苏州调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋＝________.
解析：因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.
答案：4
3．(2019·海门中学检测)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝________(用，表示)．
解析：因为＝－2，
所以＝2.又M是BC的中点，
所以＝(＋)
＝(＋＋)
＝
＝＋.
答案：＋
[谨记通法]
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
　
[典例引领]
设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
解：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b，
所以＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
所以，共线，又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb同向，
所以存在实数λ(λ＞0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.所以(k－λ)a＝(λk－1)b.
因为a，b是不共线的两个非零向量，
解得或
又因为λ＞0，所以k＝1.
[由题悟法]
共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
[即时应用]

1．(2018·南京第十三中学测试)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为________．
解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，由AB＝4，得AN＝AM＝3，又因为＋＝，所以(＋)2＝ ||2，所以AD2＝27，AD＝3.
答案：3
2．(2019·天一中学检测)如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线．
解：(1)在△ABC中，∵＝a，＝b，
∴＝－＝b－a，
＝＋＝＋ ＝a＋(b－a)＝a＋ b，＝＋＝－＋＝－a＋b.
(2)证明：∵＝－a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋＝－a＋b＝(－a＋b)，
∴＝，
∴与共线，且有公共点B，
∴B，E，F三点共线．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，则λ＝________.
解析：根据向量加法的运算法则可知，＋＝＝2，故λ＝2.
答案：2
2．(2019·海门中学检测)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋，则＝________.
解析：因为＝＋，所以＝－＝－＋＝(－)，所以＝，所以＝.
答案：
3．(2018·启东期末)在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析：由已知，得＝＋，
所以＝－，
又＝λ＋μ，
所以λ＝1，μ＝－，
则λ＋μ＝.
答案：
4．(2018·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．
解析：如图，因为＝，P是上一点．所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.
答案：
5．(2019·张家港模拟)如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，设＝a，＝b，＝c，若c＝ma＋nb，则m－n＝________.
解析：由向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，
得＝＋＝－3＝－3(CO―→＋)，
即＝＋3－3，
则c＝－a＋b.
又c＝m a＋n b，所以m＝－，n＝，
所以m－n＝－2.
答案：－2
6．(2018·江阴高级中学测试)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝________.
解析：依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.
答案：0
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________.
解析：由＋＋＝0得点M是△ABC的重心，可知＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.
答案：3
2．(2019·江阴期中)若a，b不共线，且a＋m b与2a－b共线，则实数m的值为________．
解析：∵a＋m b与2a－b共线，
∴存在实数k，使得a＋mb＝k(2a－b)＝2ka－kb，
又a，b不共线，
∴1＝2k，m＝－k，
解得m＝－.
答案：－
3．下列四个结论：
①＋＋＝0； ②＋＋＋＝0；
③－＋－＝0；④＋＋－＝0，
其中一定正确的结论个数是________．
解析：①＋＋＝＋＝0，①正确；
②＋＋＋＝＋＋＝，②错；
③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确
；④＋＋－＝＋＝0，④正确．
故正确的结论个数为3.
答案：3
4．(2018·南汇中学检测)已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s＝________.
解析：如图，因为＝2，所以＝.
又因为＝－，
所以＝－.
又＝r＋s，所以r＝，s＝－，所以r＋s＝0.
答案：0

5．(2018·海安中学检测)如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．
解析：连结CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.
答案：a＋b
6．(2019·常州调研)已知矩形ABCD的两条对角线交于点O，点E为线段AO的中点，若＝m＋n，则m＋n的值为________．
解析：如图所示，因为点E为线段AO的中点，
所以＝(＋)＝＋＝－＋－＝ －，
又＝m＋n，
所以m＝，n＝－，
故m＋n＝－＝－.
答案：－
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝ |－|，则||＝________.
解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，
因此，||＝||＝2.
答案：2
8．(2019·启东期中)在△ABC中，D为边AB上一点，M为△ABC内一点，且满足＝，＝＋，则＝________.
解析：如图，∵＝，＝＋，＝＋，
∴AD＝AB，DM＝BC，且DM∥BC，
∴＝×＝.
答案：
9．如图所示，在△OAB中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D是把分成2∶1的一个三等分点，DC交OA于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)依题意，A是BC的中点，
所以2＝＋，
即＝2－＝2a－b，
＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
(2)若＝λ，
则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
因为与共线．
所以存在实数k，使＝k.
即(λ－2)a＋b＝k，
因为a，b是不共线的两个非零向量，
所以解得
10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝ 2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
因为＝2e1－8e2，
所以＝2.
又因为与有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，
因为＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
所以＝λ (λ∈R)，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得
解得k＝12.
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1．(2019·汇龙中学检测)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D.若＝x＋y，则x＋y的取值范围是________．
解析：由于A，B，D三点共线，设＝α，则＝＋＝＋α＝＋α(－)＝(1－α)＋α.由于O，C，D三点共线，且点D在圆内，点C在圆上，与方向相反，则存在λ＜－1，使得＝λ＝λ[(1－α)·＋α]＝λ(1－α)＋λα＝x＋y，因此x＝λ(1－α)，y＝λα，所以x＋y＝λ＜－1.
答案：(－∞，－1)
2．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)
＝＋m(－)，
所以－＝m(－)，
即＝m，所以与共线．
又因为与有公共点B，
所以A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使＝λ，
所以－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
因为O，A，B不共线，所以，不共线，
所以所以m＋n＝1.