年终活动
搜索
    上传资料 赚现金
    英语朗读宝

    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:选修4-4第1节 坐标系

    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:选修4-4第1节 坐标系第1页
    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:选修4-4第1节 坐标系第2页
    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:选修4-4第1节 坐标系第3页
    还剩6页未读, 继续阅读
    下载需要20学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:选修4-4第1节 坐标系

    展开

    选修4-4 坐标系与参数方程第一节 坐标系[考纲传真] 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(xy)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ的作用下,点P(xy)对应到点P(xy),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫作极点,从O点引一条射线Ox,叫作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系.(2)极坐标极径:设M是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长,ρ叫作点M的极径.极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角,记为θ.极坐标:有序实数对(ρθ)叫作点M的极坐标,记作M(ρθ)3极坐标与直角坐标的互化M是平面内任意一点,它的直角坐标是(xy),极坐标是(ρθ),则它们之间的关系为:4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆ρr(0θ2π)圆心为(r,0),半径为r的圆ρ2rcos θ圆心为,半径为r的圆ρ2rsin θ(00π)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点,且极轴到此直线的角为α,则直线l的极坐标方程是θα(ρR)(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴,则直线l的极坐标方程为ρcos θa.(3)直线过M且平行于极轴,则直线l的极坐标方程为ρsin_θb(0θπ)[基础自测]1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.              (  )(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是 (  )(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的. (  )(4)极坐标方程θπ(ρ0)表示的曲线是一条直线. (  )[答案] (1)× (2) (3) (4)×2(教材改编)在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是(  )A    BC(1,0) D(1π)B [法一:由ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2y2=-2y,化成标准方程为x2(y1)21,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为.法二:由ρ=-2sin θ2cos,知圆心的极坐标为,故选B.]3(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y1x(0x1)的极坐标方程为(  )Aρ0θBρ0θCρcos θsin θ0θDρcos θsin θ0θA [y1x(0x1)ρsin θ1ρcos θ(0ρcos θ1)ρ.]4.在极坐标系中,曲线C1C2的方程分别为ρsin2 θcos θρsin θ1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1C2的交点的直角坐标为________(1,1) [ρsin2θcos θρ2sin2θρcos θy2x,又由ρsin θ1y1,联立故曲线C1C2交点的直角坐标为(1,1)]5.在极坐标系中,圆ρ8sin θ上的点到直线θ(ρR)距离的最大值是________6 [ρ8sin θρ28ρsin θ,化为直角坐标方程为x2(y4)216,直线θ,则tan θ,化为直角坐标方程为xy0,圆心(0,4)到直线的距离为2,所以圆上的点到直线距离的最大值为246.]平面直角坐标系中的伸缩变换1.求椭圆y21经过伸缩变换后的曲线方程.[] 由得到   代入y21,得y21,即x2y21.因此椭圆y21经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y21.2.将圆x2y21变换为椭圆1的一个伸缩变换公式为φab的值.[] 由代入x2y21中得1,所以a29b24,即a3b2.[规律方法] 伸缩变换后方程的求法,平面上的曲线yf(x)在变换φ的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x),得f,整理之后得到yh(x),即为所求变换之后的方程.易错警示应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(xy)与变换后的点的坐标(xy) 极坐标系与直角坐标系的互化 【例1】 (2019·合肥质检)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos1(0θ2π)MN分别为曲线Cx轴,y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求MN的极坐标;(2)MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.[] (1)ρcos1ρcos θsin θ1.从而曲线C的直角坐标方程为xy1,即xy20.θ0时,ρ2,所以M(2,0)θ时,ρ,所以N.(2)M点的直角坐标为(2,0)N点的直角坐标为.所以P点的直角坐标为P点的极坐标为.所以直线OP的极坐标方程为θ(ρR)[规律方法] 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式xρcos θyρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如ρcos θρsin θρ2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧. 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ2ρ22ρ·cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.[] (1)ρ2ρ24所以圆O1的直角坐标方程为x2y24.因为ρ22ρcos2所以ρ22ρ2所以圆O2的直角坐标方程为x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为ρcos θρsin θ1ρsin. 极坐标方程的应用【例2】 在直角坐标系xOy中,直线C1x=-2,圆C2(x1)2(y2)21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)C1C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ(ρR),设C2C3的交点为MN,求C2MN的面积.[] (1)因为xρcos θyρsin θ所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2C2的极坐标方程为ρ22ρcos θ4ρsin θ40.(2)θ代入ρ22ρcos θ4ρsin θ40,得ρ23ρ40,解得ρ12ρ2.ρ1ρ2,即|MN|.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.[规律方法] 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时,将极坐标方程化为直角坐标方程,有助于增加对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用. (2019·广州调研)在极坐标系中,求直线ρsin2被圆ρ4截得的弦长.[] 由ρsin2,得(ρsin θρcos θ)2可化为xy20.ρ4可化为x2y216圆心(0,0)到直线xy20的距离d2由圆中的弦长公式,得弦长l224.故所求弦长为4.1(2018·全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ22ρcos θ30.(1)C2的直角坐标方程;(2)C1C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.[] (1)xρcos θyρsin θC2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)(1)C2是圆心为A(1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1C2有且仅有三个公共点等价于l1C2只有一个公共点且l2C2有两个公共点,或l2C2只有一个公共点且l1C2有两个公共点.l1C2只有一个公共点时,点Al1所在直线的距离为2,所以2,故k=-k0.经检验,当k0时,l1C2没有公共点;当k=-时,l1C2只有一个公共点,l2C2有两个公共点.l2C2只有一个公共点时,Al2所在直线的距离为2,所以2,故k0k.经检验,当k0时,l1C2没有公共点;当k时,l2C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|2.2(2017·全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.[] (1)P的极坐标为(ρθ)(ρ>0)M的极坐标为(ρ1θ)(ρ1>0)由题设知|OP|ρ|OM|ρ1.|OM|·|OP|16C2的极坐标方程为ρ4cos θ(ρ0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(ρBα)(ρB>0)由题设知|OA|2ρB4cos α,于是OAB的面积S|OAρB·sinAOB4cos α·22.α=-时,S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.3(2016·全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2ρ4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θα0,其中α0满足tan α02,若曲线C1C2的公共点都在C3上,求a.[] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.xρcos θyρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ22ρsin θ1a20.(2)曲线C1C2的公共点的极坐标满足方程组ρ0,由方程组得16cos2θ8sin θcos θ1a20由已知tan θ2,可得16cos2θ8sin θcos θ0从而1a20,解得a=-1(舍去)a1.a1时,极点也为C1C2的公共点,且在C3上.所以a1. 

    欢迎来到教习网
    • 900万优选资源,让备课更轻松
    • 600万优选试题,支持自由组卷
    • 高质量可编辑,日均更新2000+
    • 百万教师选择,专业更值得信赖
    微信扫码注册
    qrcode
    二维码已过期
    刷新

    微信扫码,快速注册

    手机号注册
    手机号码

    手机号格式错误

    手机验证码 获取验证码

    手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

    设置密码

    6-20个字符,数字、字母或符号

    注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
    QQ注册
    手机号注册
    微信注册

    注册成功

    返回
    顶部
    Baidu
    map