2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：选修4－4第2节　参数方程

第二节　参数方程

[考纲传真]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．

1．曲线的参数方程

一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数．

2．直线、圆、椭圆的参数方程

(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．

(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．

(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．

根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：

过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.

(1)弦长l＝|t1－t2|；

(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；

(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数． (　　)

(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．              (　　)

(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆． (　　)

(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为．              (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)

A．在直线y＝2x上　 B．在直线y＝－2x上

C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上

B　[由得

所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.

曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，

所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]

3．直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为________．

－3　[将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.]

4．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．

y＝2－2x2(－1≤x≤1)　[由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]

5．(教材改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则a＝________.

3　[直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.]

1．将下列参数方程化为普通方程．

(1)(t为参数)；

(2)(θ为参数)．

[解]　(1)∵＋＝1，∴x2＋y2＝1.

∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.

又x＝，∴x≠0.

当t≥1时，0＜x≤1；当t≤－1时，－1≤x＜0，

∴所求普通方程为x2＋y2＝1，

其中或

(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.

∵0≤sin2θ≤1，

∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，

∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．

2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．

[解]　圆的半径为，

记圆心为C，

连接CP，

则∠PCx＝2θ，

故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，

yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．

所以圆的参数方程为

(θ为参数)．

【例1】　(2019·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.

(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；

(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

[解]　(1)由消去θ，

得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，

所以l的参数方程为

即(t为参数)．

(2)把直线l的参数方程

代入x2＋y2＝16，

得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，

所以t1t2＝－11，

由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.

  (2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C：(θ为参数)相交于不同的两点A，B.

(1)若α＝，求线段AB的中点的直角坐标；

(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．

[解]　(1)由曲线C：(θ为参数)，

可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.

当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，

代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，

得t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝＝3，

故线段AB的中点的直角坐标为.

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α－sin2α)t2＋6cos αt＋8＝0，

则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝

＝，

由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝.

【例2】　在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．

[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)法一：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得y＝x·tan α.

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.

由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.

又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝，

整理得k2＝，解得k＝±，即l的斜率为±.

法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.

由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.

所以l的斜率为或－.

  (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

[解]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；

消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．

设P(x，y)，由题设得

消去k得x2－y2＝4(y≠0)，

所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，

联立得

cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．

故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.

代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，

所以交点M的极径为.

1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

[解]　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.

当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，

当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.

2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．

[解]　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.

又点P的坐标(x，y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是

.