2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第四章第三节三角函数的图象与性质

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期频率相位初相(A>0，ω>0)AT＝f＝＝φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－－－ωx＋φ2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)(2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)答案：(1)×　(2)×二、填空题1．函数y＝sin的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：　　2．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y＝1＋cos 2x3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案： 考法一　函数y＝Asin(ωx＋)的图象及变换　1．“五点法”画图(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：(1)A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；(2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1]　(2019·大庆实验中学期初)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象(　　)A．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到B．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到C．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度得到D．可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到[解析]　由已知得，ω＝＝2，则f(x)＝cos的图象可由函数g(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到，故选D.[答案]　D[例2]　(2019·景德镇测试)已知函数f(x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．[解]　(1)f(x)＝4cos xsin＋a＝4cos x·＋a＝sin 2x＋2cos2x＋a＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a＝2sin＋1＋a，∵f(x)的最大值为2，∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：x0π2x＋π2πf(x)＝2sin120－201画图如下：[方法技巧]　三角函数图象变换的两个要点常规方法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向方程思想可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解，如y＝sin 2x变为y＝sin2x＋，可设平移φ个单位长度，即由2(x＋φ)＝2x＋解得φ＝，向左平移，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度考法二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋)的解析式　[例3]　(1)(2018·怀仁期末联考)若函数f(x)＝sin(ωx－φ)的部分图象如图所示，则ω和φ的值是(　　)A．ω＝1，φ＝　　　　 B．ω＝1，φ＝－C．ω＝，φ＝  D．ω＝，φ＝－(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f(x)＝Asinx＋φ，y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，作PR⊥x轴于点R，点R的坐标为(1,0)．若∠PRQ＝，则f(0)＝(　　)A.  B.C.  D.[解析]　(1)由图象可知，函数的周期为4－＝4π，所以ω＝＝，将代入y＝sin，又|φ|≤，得φ＝－，故选D.(2)过点Q作QH⊥x轴于点H.设P(1，A)，Q(a，－A)．由函数图象得2|a－1|＝＝6，即|a－1|＝3.因为∠PRQ＝，所以∠HRQ＝，则tan∠QRH＝＝，解得A＝.又P(1，)是图象的最高点，所以×1＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin，f(0)＝sin ＝.故选B.[答案]　(1)D　(2)B  [方法技巧]确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．　　1.将函数f(x)＝cos 2x－sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数F(x)的图象，则下列说法中正确的是(　　)A．F(x)是奇函数，最小值是－2B．F(x)是偶函数，最小值是－2C．F(x)是奇函数，最小值是－D．F(x)是偶函数，最小值是－解析：选C　f(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos，则F(x)＝cos＝   cos＝－sin 2x，故选C.2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为6π，将其图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin ωx的图象，则φ等于(　　)A.  B.C.  D.解析：选B　由题意得＝6π，∴ω＝.∴f(x)＝sin.将其图象向右平移 个单位长度后得到的函数图象的解析式为g(x)＝sin＝sin＝sin x，∴φ－＝2kπ(k∈Z)．解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，∵|φ|<，∴φ＝.故选B.  3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为(　　)A．y＝－cos 2x  B．y＝cos 2xC．y＝sin  D．y＝sin解析：选C　设函数f(x)的最小正周期为T.由题图知，T＝π－，得T＝π＝，     ∴ω＝2；由f(x)的最大值为1，得A＝1，∴f(x)＝sin，将的坐标代入可得sin＋φ＝1，又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin.f(x)的图象向左平移个单位长度，可得g(x)＝sin2x＋＋＝sin的图象．故选C.突破点二　三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C，是指每平方米的昆虫数量，这个C的函数表达式为C(t)＝这里的t是午夜后的小时数，m是一个实常数．(1)求m的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C(t)是一个连续的函数，所以当t＝8时，得到C(8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m，即m＝8 000.(2)当cos ＝－1时，C达到最小值．即＝(2k＋1)π，k∈Z，解得t＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 0002－1 000≤1 250，则2≤2.25，∴cos ≤－0.5.即2kπ＋π≤≤2kπ＋π，k∈Z，4k＋≤t≤4k＋，k∈Z.又8≤t≤16，∴tmin＝，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化；(3)“ωx＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos×4＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量．(2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.∵×＝14－8，∴ω＝.∴y＝10sin＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．