2020届高考数学一轮复习：课时作业9《对数与对数函数》(含解析) 练习

课时作业9　对数与对数函数1．(2019·湖北孝感统考)函数f(x)＝的定义域是(　B　)A.   B.∪(0，＋∞)C. D．[0，＋∞)解析：由解得x＞－且x≠0，故选B.2．(2019·河南新乡模拟)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　B　)A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜c＜a解析：∵a＝60.4＞1，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.4＜0，∴a＞b＞c.故选B.3．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg(ab)·2＝(　B　)A．2 B．4C．6 D．8解析：由已知，得lga＋lgb＝2，即lg(ab)＝2.又lga·lgb＝，所以lg(ab)·2＝2(lga－lgb)2＝2[(lga＋lgb)2－4lga·lgb]＝2×＝2×2＝4，故选B.4．若函数y＝(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝(　D　)A．1 B．2C．3 D．4解析：若a＞1，则y＝在[0,1]上单调递减，则解得a＝2，此时，loga＋loga＝log216＝4；若0＜a＜1，则y＝在[0,1]上单调递增，则无解，故选D.5．(2019·广东省际名校联考)已知f(x)满足对∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝＋k(k为常数)，则f(ln5)的值为(　B　)A．4 B．－4C．6 D．－6解析：易知函数f(x)是奇函数，故f(0)＝＋k＝1＋k＝0，即k＝－1，所以f(ln5)＝－f(－ln5)＝－(eln5－1)＝－4.6．(2019·广东韶关南雄模拟)函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(　C　)解析：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝∴当x≥0时，函数g(x)单调递增，且g(0)＝0；当－1＜x＜0时，函数g(x)单调递减，故选C.7．已知函数f(x)＝ex＋2(x＜0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　A　)A．(－∞，e) B．(0，e)C．(e，＋∞) D．(－∞，1)解析：由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，即e－x－ln(x＋a)＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点，则lna＜1，即0＜a＜e，则a的取值范围是(0，e)，当a≤0时，y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象总有交点，故a的取值范围是(－∞，e)，故选A.8．(2019·广东省级名校模拟)已知函数f(x)＝(ex－e－x)x，f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，则x的取值范围是(　C　)A. B．[1,5]C.   D.∪[5，＋∞)解析：∵f(x)＝(ex－e－x)x，∴f(－x)＝－x(e－x－ex)＝(ex－e－x)x＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．∵f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)＞0在(0，＋∞)上恒成立．∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，∴2f(log5x)≤2f(1)，即f(log5x)≤f(1)，∴|log5x|≤1，∴≤x≤5.故选C.9．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为－　.解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.10．(2019·沈阳质检)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝9__.解析：f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得则所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.11．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值．解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，∴a＝2.由得－1＜x＜3，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.12．已知函数f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.(1)当a＝2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围．解：(1)∵log2(22x＋t)＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，即t≥－22x＋2x＝g(x)恒成立，即t≥g(x)max，∵g(x)＝－22x＋2x＝－2＋，∴当2x＝，即x＝－1时，g(x)取得最大值，∴t≥，故t的取值范围是.(2)由题意知f(x)＝loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，∴即问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t＝0有两个不相等的实根，令ak＝u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即即得0＜t＜.∴t的取值范围为.13．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a＝，b＝，c＝，则(　B　)A．a＜b＜c B．b＜a＜cC．c＜a＜b D．c＜b＜a解析：已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，故x1－x2与x2f(x1)－x1f(x2)同号，则x1－x2与同号，∴函数y＝是(0，＋∞)上的增函数，∵1＜30.2＜2,0＜0.32＜1，log25＞2，∴0.32＜30.2＜log25，∴b＜a＜c，故选B.14．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞0且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　D　)A. B．(1,4)C．(1,8) D．(8，＋∞)解析：依题意得f(x＋2)＝f(－(2－x))＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数，结合题意画出函数f(x)在x∈(－2,6)上的图象与函数y＝loga(x＋2)的图象，结合图象分析可知．要使f(x)与y＝loga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有由此解得a＞8，即a的取值范围是(8，＋∞)．15．(2019·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋)，g(x)＝f(x)＋2 017，下列命题：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；②f(x)是奇函数；③f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；④若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝1；⑤设函数g(x)在[－2 017,2 017]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝2 017.其中真命题的序号是①②③④__.(写出所有真命题的序号)解析：对于①，∵＞＝|x|≥－x，∴＋x＞0，∴f(x)的定义域为R，∴①正确．对于②，f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln[(x2＋1)－x2]＝ln1＝0.∴f(x)是奇函数，∴②正确．对于③，令u(x)＝x＋，则u(x)在[0，＋∞)上单调递增．当x∈(－∞，0]时，u(x)＝x＋＝，而y＝－x在(－∞，0]上单调递减，且－x＞0.∴u(x)＝在(－∞，0]上单调递增，又u(0)＝1，∴u(x)在R上单调递增，∴f(x)＝ln(x＋)在R上单调递增，∴③正确．对于④，∵f(x)是奇函数，而f(a)＋f(b－1)＝0，∴a＋(b－1)＝0，∴a＋b＝1，∴④正确．对于⑤，f(x)＝g(x)－2 017是奇函数，当x∈[－2 017,2 017]时，f(x)max＝M－2 017，f(x)min＝m－2 017，∴(M－2 017)＋(m－2 017)＝0，∴M＋m＝4 034，∴⑤不正确．16．已知函数f(x)＝ln.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln＞ln恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由＞0，解得x＜－1或x＞1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)．∴f(x)＝ln是奇函数．(2)由于x∈[2,6]时，f(x)＝ln＞ln恒成立，∴＞＞0，∵x∈[2,6]，∴0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上恒成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0＜m＜7.故实数m的取值范围为(0,7)．