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    2020版高考数学一轮复习课时作业72《 参数方程》(含解析) 练习

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    2020版高考数学一轮复习课时作业72《 参数方程》(含解析) 练习

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    课时作业72 参数方程1.已知P为半圆C(θ为参数,0θπ)上的点,点A的坐标为(1,0)O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OMC的弧AP的长度均为.(1)O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求点M的极坐标;(2)求直线AM的参数方程.解:(1)由已知,点M的极角为且点M的极径等于故点M的极坐标为.(2)(1)知点M的直角坐标为A(1,0).故直线AM的参数方程为(t为参数).2.(2019·贵阳模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2sinθ.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)AB分别为曲线C1C2上的动点,求当AB取最小值时AOB的面积.解:(1)(t为参数)C1的普通方程为(x4)2(y5)29ρ2sinθ,得ρ22ρsinθx2y2ρ2yρsinθ代入上式,C2的直角坐标方程为x2(y1)21.(2)如图,当ABC1C2四点共线,且AB在线段C1C2上时,|AB|取得最小值,由(1)C1(4,5)C2(0,1),则kC1C21直线C1C2的方程为xy10O到直线C1C2的距离d|AB||C1C2|13444SAOBd|AB|××(44)2.3.(2018·全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)Cl的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.解:(1)曲线C的直角坐标方程为1.cosα0时,l的直角坐标方程为ytanα·x2tanαcosα0时,l的直角坐标方程为x1.(2)l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(13cos2α)t24(2cosαsinα)t80. 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)C内,所以有两个解,设为t1t2,则t1t20.又由t1t2=-,故2cosαsinα0,于是直线l的斜率ktanα=-2.4.(2019·昆明调研测试)在直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2sinθ,直线l与曲线C分别交于PQ两点.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)|PQ|2|AP|·|AQ|,求直线l的斜率k.解:(1)直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的直角坐标方程为x2y22y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得t2(4cosα)t30Δ(4cosα)24×3>0,得cos2α>由根与系数的关系,得t1t2=-4cosαt1·t23由参数的几何意义知,|AP||t1||AQ||t2||PQ||t1t2|由题意知,(t1t2)2t1·t2,则(t1t2)25t1·t2(4cosα)25×3解得cos2α,满足cos2α>所以sin2αtan2α所以直线l的斜率ktanα±.5.(2019·洛阳市联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2,且直线l经过曲线C的左焦点F.(1)求直线l的普通方程;(2)设曲线C的内接矩形的周长为L,求L的最大值.解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ2,即ρ2ρ2sin2θ4ρ2x2y2ρsinθy代入上式并化简得1所以曲线C的直角坐标方程为1于是c2a2b22F(0).直线l的普通方程为xym,将F(0)代入直线方程得m=-,所以直线l的普通方程为xy0.(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2cosθsinθ)(0<θ<),所以椭圆C的内接矩形的周长为L2(4cosθ2sinθ)4sin(θφ)(其中tanφ),所以椭圆C的内接矩形的周长的最大值为4.6.(2019·唐山市摸底考试)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系的长度单位相同.已知圆C1的极坐标方程为ρ4(cosθsinθ)PC1上一动点,点Q在射线OP上且满足|OQ||OP|,点Q的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程,并化为直角坐标方程.(2)已知直线l的参数方程为(t为参数,0φ<π)l与曲线C2有且只有一个公共点,求φ的值.解:(1)设点PQ的极坐标分别为(ρ0θ)(ρθ),则ρρ0·4(cosθsinθ)2(cosθsinθ),点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ2(cosθsinθ)两边同乘以ρ,得ρ22(ρcosθρsinθ)C2的直角坐标方程为x2y22x2y(x1)2(y1)22.(2)l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程,得(tcosφ1)2(tsinφ1)22t22(cosφsinφ)t0t10t22sinφ2cosφ由直线l与曲线C2有且只有一个公共点,sinφcosφ0因为0φ,所以φ.   

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