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    2020版高考数学一轮复习课时作业05《 函数的单调性与最值》(含解析) 练习

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    2020版高考数学一轮复习课时作业05《 函数的单调性与最值》(含解析) 练习

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    课时作业5 函数的单调性与最值

    一、选择题

    1.(2019·潍坊市统一考试)下列函数中,图象是轴对称图形且在区间(0,+)上单调递减的是( B )

    A.y   B.y=-x21

    C.y2x   D.ylog2|x|

    解析:因为函数的图象是轴对称图形,所以排除AC,又y=-x21(0,+)上单调递减,ylog2|x|(0,+)上单调递增,所以排除D.故选B.

    2.已知函数f(x),则该函数的单调递增区间为( B )

    A.(1]   B.[3,+)

    C.(,-1]   D.[1,+)

    解析:tx22x3,由t0,即x22x30,解得x1x3.所以函数的定义域为(,-1][3,+).因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1,所以函数t(,-1]上单调递减,在[3,+)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+).

    3.函数y的值域为( C )

    A.(1)   B.

    C.   D.

    解析:因为x20,所以x211,即(0,1],故y.

    4.(2019·洛阳高三统考)若函数f(x)同时满足下列两个条件,则称该函数为优美函数

    (1)xR,都有f(x)f(x)0

    (2)x1x2R,且x1x2,都有<0.

    f(x)sinxf(x)=-2x3f(x)1xf(x)ln(x).

    以上四个函数中,优美函数的个数是( B )

    A.0   B.1

    C.2   D.3

    解析:由条件(1),得f(x)是奇函数,由条件(2),得f(x)R上的单调减函数.

    对于f(x)sinxR上不单调,故不是优美函数;对于f(x)=-2x3既是奇函数,又在R上单调递减,故是优美函数;对于f(x)1x不是奇函数,故不是优美函数;对于,易知f(x)R上单调递增,故不是优美函数.故选B.

    5.函数yf(x)[0,2]上单调递增,且函数f(x)的图象关于直线x2对称,则下列结论成立的是( B )

    A.f(1)<f<f   B.f<f(1)<f

    C.f<f<f(1)   D.f<f<f(1)

    解析:因为f(x)的图象关于直线x2对称,所以f(x)f(4x),所以ffff.0<<1<<2f(x)[0,2]上单调递增,所以f<f(1)<f,即f<f(1)<f.

    6.已知a>0,设函数f(x)(x[aa])的最大值为M,最小值为N,那么MN( D )

    A.2 017   B.2 019

    C.4 032   D.4 036

    解析:由题意得f(x)2 019.y2 019x1[aa]上是单调递增的,f(x)2 019[aa]上是单调递增的,Mf(a)Nf(a)MNf(a)f(a)4 0384 036.

    二、填空题

    7.已知函数f(x)(0,+)上的增函数,若f(a2a)>f(a3),则实数a的取值范围为(3,-1)(3,+).

    解析:由已知可得解得-3<a<1a>3.所以实数a的取值范围为(3,-1)(3,+).

    8.(2018·北京卷)能说明f(x)>f(0)对任意的x(0,2]都成立,则f(x)[0,2]上是增函数为假命题的一个函数是f(x)sinx(答案不唯一).

    解析:这是一道开放性试题,答案不唯一,只要满足f(x)>f(0)对任意的x(0,2]都成立,且函数f(x)[0,2]上不是增函数即可.f(x)sinx,答案不唯一.

    9.若函数f(x)ln(ax2x)在区间(0,1)上单调递增,则实数a的取值范围为a.

    解析:若函数f(x)ln(ax2x)在区间(0,1)上单调递增,则函数g(x)ax2x(0,1)上单调递增且g(x)>0恒成立.a0时,g(x)x(0,1)上单调递增且g(x)>0,符合题意;当a>0时,g(x)图象的对称轴为x=-<0,且有g(x)>0,所以g(x)(0,1)上单调递增,符合题意;当a<0时,需满足g(x)图象的对称轴x=-1,且有g(x)>0,解得a

    ,则-a<0.综上,a.

    10.若函数f(x)axbx[a4a]的图象关于原点对称,则函数g(x)bxx[4,-1]的值域为[2,-].

    解析:由函数f(x)的图象关于原点对称,可得a4a0,即a2,则函数f(x)2xb,其定义域为[2,2],所以f(0)0,所以b0,所以g(x),易知g(x)[4,-1]上单调递减,故值域为[g(1)g(4)],即[2,-].

    三、解答题

    11.已知f(x)(xa).

    (1)a=-2,试证明:f(x)(,-2)内单调递增;

    (2)a>0f(x)(1,+)上单调递减,求a的取值范围.

    解:(1)证明:任设x1<x2<2,则f(x1)f(x2).

    (x12)(x22)>0x1x2<0

    f(x1)f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)

    f(x)(,-2)上单调递增.

    (2)任设1<x1<x2,则f(x1)f(x2)

    .

    a>0x2x1>0要使f(x1)f(x2)>0,只需(x1a)(x2a)>0(1,+)上恒成立,a1.综上所述知a的取值范围是(0,1].

    12.已知函数f(x)ax(1x)(a>0),且f(x)[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值.

    解:f(x)x,当a>1时,a>0,此时f(x)[0,1]上为增函数,g(a)f(0);当0<a<1时,a<0,此时f(x)[0,1]上为减函数,g(a)f(1)a;当a1时,f(x)1,此时g(a)1.

    g(a)g(a)(0,1)上为增函数,在[1,+)上为减函数,又a1时,有a1

    a1时,g(a)取最大值1.

    13.(2019·湖北八校联考)已知函数f(x)

    f(e2)f(1)f(e)f(0),则函数f(x)的值域为(][2,+).

    解析:由题意可得解得

    x>0时,f(x)(lnx)22lnx3(lnx1)222

    x0时,<exe0,则函数f(x)的值域为(][2,+).

     

    14.已知定义在区间(0,+)上的函数f(x)满足ff(x1)

    f(x2),且当x>1时,f(x)<0.

    (1)f(1)的值;

    (2)证明:f(x)为单调递减函数;

    (3)f(3)=-1,求f(x)[2,9]上的最小值.

    解:(1)x1x2>0

    代入得f(1)f(x1)f(x1)0.f(1)0.

    (2)证明:任取x1x2(0,+),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0.

    所以f<0,即f(x1)f(x2)<0.

    因此f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.

    (3)f(x)(0,+)上是单调递减函数.f(x)[2,9]上的最小值为f(9).

    ff(x1)f(x2)得,ff(9)f(3).

    f(3)=-1,所以f(9)=-2.

    f(x)[2,9]上的最小值为-2.

    15.(2019·河南郑州一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2e)=-f(x)(其中e2.718 2),且在区间[e,2e]上是减函数,令abc,则f(a)f(b)f(c)的大小关系(用不等号连接)( A )

    A.f(b)>f(a)>f(c)   B.f(b)>f(c)>f(a)

    C.f(a)>f(b)>f(c)   D.f(a)>f(c)>f(b)

    解析:f(x)R上的奇函数,满足f(x2e)=-f(x)f(x2e)f(x)函数f(x)的图象关于直线xe对称,f(x)在区间[e,2e]上为减函数,f(x)在区间[0e]上为增函数,又易知0<c<a<b<ef(c)<f(a)<f(b),故选A.

    16.(2019·湖南湘东五校联考)已知函数f(x)

    g(x)x22x,设a为实数,若存在实数m,使f(m)2g(a)0,则实数a的取值范围为[1,3].

    解析:当-7x0时,f(x)|x1|[0,6],当e2xe时,f(x)lnx单调递增,得f(x)[2,1],综上,f(x)[2,6].若存在实数m,使f(m)2g(a)0,则有-22g(a)6,即-1a22a31a3.

     

     

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