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2020版高考数学一轮复习课时作业05《 函数的单调性与最值》(含解析) 练习
展开课时作业5 函数的单调性与最值
一、选择题
1.(2019·潍坊市统一考试)下列函数中,图象是轴对称图形且在区间(0,+∞)上单调递减的是( B )
A.y= B.y=-x2+1
C.y=2x D.y=log2|x|
解析:因为函数的图象是轴对称图形,所以排除A,C,又y=-x2+1在(0,+∞)上单调递减,y=log2|x|在(0,+∞)上单调递增,所以排除D.故选B.
2.已知函数f(x)=,则该函数的单调递增区间为( B )
A.(-∞,1] B.[3,+∞)
C.(-∞,-1] D.[1,+∞)
解析:设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).
3.函数y=的值域为( C )
A.(-∞,1) B.
C. D.
解析:因为x2≥0,所以x2+1≥1,即∈(0,1],故y=∈.
4.(2019·洛阳高三统考)若函数f(x)同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”:
(1)∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=0;
(2)∀x1,x2∈R,且x1≠x2,都有<0.
①f(x)=sinx;②f(x)=-2x3;③f(x)=1-x;④f(x)=ln(+x).
以上四个函数中,“优美函数”的个数是( B )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:由条件(1),得f(x)是奇函数,由条件(2),得f(x)是R上的单调减函数.
对于①,f(x)=sinx在R上不单调,故不是“优美函数”;对于②,f(x)=-2x3既是奇函数,又在R上单调递减,故是“优美函数”;对于③,f(x)=1-x不是奇函数,故不是“优美函数”;对于④,易知f(x)在R上单调递增,故不是“优美函数”.故选B.
5.函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则下列结论成立的是( B )
A.f(1)<f<f B.f<f(1)<f
C.f<f<f(1) D.f<f<f(1)
解析:因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),所以f=f,f=f.又0<<1<<2,f(x)在[0,2]上单调递增,所以f<f(1)<f,即f<f(1)<f.
6.已知a>0,设函数f(x)=(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,那么M+N=( D )
A.2 017 B.2 019
C.4 032 D.4 036
解析:由题意得f(x)==2 019-.∵y=2 019x+1在[-a,a]上是单调递增的,∴f(x)=2 019-在[-a,a]上是单调递增的,∴M=f(a),N=f(-a),∴M+N=f(a)+f(-a)=4 038--=4 036.
二、填空题
7.已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).
解析:由已知可得解得-3<a<-1或a>3.所以实数a的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).
8.(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)=sinx(答案不唯一).
解析:这是一道开放性试题,答案不唯一,只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,且函数f(x)在[0,2]上不是增函数即可.如f(x)=sinx,答案不唯一.
9.若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增,则实数a的取值范围为a≥-.
解析:若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增,则函数g(x)=ax2+x在(0,1)上单调递增且g(x)>0恒成立.当a=0时,g(x)=x在(0,1)上单调递增且g(x)>0,符合题意;当a>0时,g(x)图象的对称轴为x=-<0,且有g(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,符合题意;当a<0时,需满足g(x)图象的对称轴x=-≥1,且有g(x)>0,解得a≥-
,则-≤a<0.综上,a≥-.
10.若函数f(x)=ax+b,x∈[a-4,a]的图象关于原点对称,则函数g(x)=bx+,x∈[-4,-1]的值域为[-2,-].
解析:由函数f(x)的图象关于原点对称,可得a-4+a=0,即a=2,则函数f(x)=2x+b,其定义域为[-2,2],所以f(0)=0,所以b=0,所以g(x)=,易知g(x)在[-4,-1]上单调递减,故值域为[g(-1),g(-4)],即[-2,-].
三、解答题
11.已知f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2,试证明:f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
解:(1)证明:任设x1<x2<-2,则f(x1)-f(x2)=-=.
∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
(2)任设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)
=-=.
∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1].
12.已知函数f(x)=ax+(1-x)(a>0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值.
解:f(x)=x+,当a>1时,a->0,此时f(x)在[0,1]上为增函数,∴g(a)=f(0)=;当0<a<1时,a-<0,此时f(x)在[0,1]上为减函数,∴g(a)=f(1)=a;当a=1时,f(x)=1,此时g(a)=1.
∴g(a)=∴g(a)在(0,1)上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,又a=1时,有a==1,
∴当a=1时,g(a)取最大值1.
13.(2019·湖北八校联考)已知函数f(x)=
若f(e2)=f(1),f(e)=f(0),则函数f(x)的值域为(,]∪[2,+∞).
解析:由题意可得解得
∴当x>0时,f(x)=(lnx)2-2lnx+3=(lnx-1)2+2≥2;
当x≤0时,<ex+≤e0+=,则函数f(x)的值域为(,]∪[2,+∞).
14.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f=f(x1)-
f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:f(x)为单调递减函数;
(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.
解:(1)令x1=x2>0,
代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0.故f(1)=0.
(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0.
所以f<0,即f(x1)-f(x2)<0.
因此f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9).
由f=f(x1)-f(x2)得,f=f(9)-f(3).
而f(3)=-1,所以f(9)=-2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.
15.(2019·河南郑州一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718 2…),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c)的大小关系(用不等号连接)为( A )
A.f(b)>f(a)>f(c) B.f(b)>f(c)>f(a)
C.f(a)>f(b)>f(c) D.f(a)>f(c)>f(b)
解析:∵f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-f(x),∴f(x+2e)=f(-x),∴函数f(x)的图象关于直线x=e对称,∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数,∴f(x)在区间[0,e]上为增函数,又易知0<c<a<b<e,∴f(c)<f(a)<f(b),故选A.
16.(2019·湖南湘东五校联考)已知函数f(x)=
g(x)=x2-2x,设a为实数,若存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,则实数a的取值范围为[-1,3].
解析:当-7≤x≤0时,f(x)=|x+1|∈[0,6],当e-2≤x≤e时,f(x)=lnx单调递增,得f(x)∈[-2,1],综上,f(x)∈[-2,6].若存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,则有-2≤2g(a)≤6,即-1≤a2-2a≤3⇒-1≤a≤3.