2020版江苏高考数学一轮复习学案：第54课《平面向量的基本定理与坐标运算》(含解析)

第54课　平面向量的基本定理与坐标运算

1. 了解平面向量的基本定理及其意义.

2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

1. 阅读：必修4第74～81页.

2. 解悟：①平面向量基本定理；②平面向量的坐标表示；③结合第78页例4能得到什么一般性的结论吗？

3. 践习：在教材空白处，完成第82页习题第7～16题.

　基础诊断　

1. 设向量＝(2，3)，且点A的坐标为(2，3)，则点B的坐标为　(4，6)　.

解析：设点B的坐标为(x，y)，＝－＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，所以解得故点B的坐标为(4，6).

2. 已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则用向量a，b表示向量c＝　3a－b.

解析：设c＝xa＋yb，所以(4，2)＝x(1，1)＋y(－1，1)＝(x－y，x＋y)，所以解得故c＝3a－b.

3. 如图所示，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中，可作为该平面内其他向量的基底的是　①③　.(填序号)

解析：因为与，与不共线，所以可以作为该平面内其他向量的基底；因为与，与共线，所以不可作为该平面内其他向量的基底，故选①③.

4. 已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a－c)∥b，则k＝　5　.

解析：由题意得a－c＝(3－k，1－7)＝(3－k，－6).因为(a－c)∥b，所以3(3－k)－(－6)×1＝0，解得k＝5.

　范例导航　

考向❶  平面向量的基本定理

例1　如图所示，在△OCB中，C是以A为中点的点B的对称点，D是将分为2∶1两部分的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.

(1) 用a和b表示向量，；

(2)  若＝λ，求实数λ的值.

解析：(1)  由题意知，A是BC的中点，且＝.

由平行四边形法则得＋＝2，

所以＝2－＝2a－b.

＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.

(2) 由图可知，与共线，

所以存在实数t，使＝t.

因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，

所以(2－λ)a－b＝2ta－tb，

所以解得λ＝.

故实数λ的值为.

在△ABC中，P为边BC上一点，且＝.　

(1)  用，为基底表示＝　＋　；

解析：因为＝，所以－＝(－)，所以＝＋，即＝＋.

(2)  用，为基底表示＝　＋　Ｗ.

解析：＝＋＝＋.

考向❷  平面向量的坐标运算

例2　已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).

(1) 求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；

(2) 若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；

(3) 若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标.

解析：(1) 由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，

所以解得

故m的值为，n的值为.

(2) a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，

由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，

解得k＝－.

(3) 设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1).

又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝，

所以

解得或

所以d的坐标为(3，－1)或(5，3).

已知点A(2，3)，B(5，4)，C(10，8)，若＝＋λ(λ∈R)，则当点P在第二象限时，λ的取值范围为　　.

解析：设点P的坐标为(x，y).因为＝＋λ，所以(x－2，y－3)＝(3，1)＋λ(8，5)＝(3＋8λ，1＋5λ)，所以即因为点P在第二象限，所以解得－<λ<－.

考向❸  平面向量基本定理的综合应用

例3　如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE与CD交于点P.设存在λ和μ，使得＝λ，＝μ，＝a，＝b.

(1)  求λ及μ的值；

(2)  用a，b表示；

(3)  求△PAC的面积.

解析：(1) 因为＝a，＝b，

所以＝a＋b，＝a＋b.

又因为＝λ＝λ(a＋b)，＝μ＝μ，

＝＋＝＋＝a＋μ，

所以a＋μ＝λ，

所以解得

(2) ＝＋＝－a＋＝－a＋b.

(3) 设△ABC、△PAB、△PBC的高分别为h、h1、h2.

因为h1∶h＝||∶||＝μ＝，

所以S△PAB＝S△ABC＝8.

又因为h2∶h＝||：||＝1－λ＝，

所以S△PBC＝S△ABC＝2，

所以S△PAC＝S△ABC－S△APB－S△PBC＝4.

若a，b是一组基底，向量c＝xa＋yb(x，y∈R)，则称(x，y)为向量c在基底a，b下的坐标，现已知向量α在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则α在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为　(0，2)　.

解析：因为α在基底p，q下的坐标为(－2，2)，

即α＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4).

令α＝xm＋yn，

则(2，4)＝x(－1，1)＋y(1，2)

＝(－x＋y，x＋2y)，

所以解得

所以α在基底m，n下的坐标为(0，2).

　自测反馈　

1. 已知a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为　1　.

解析：因为c与d同向，所以设c＝kd(k>0)，所以λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]＝ka＋k(2λ－1)b，所以解得λ＝1或λ＝－.因为k>0，所以λ＝1.

2.  已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量为　　.

解析：由题意得，＝(3，－4)，所以||＝＝5，所以与同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.

3. 如图，已知||＝||＝1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝　2　.

解析：如图，根据平行四边形法则将向量沿与方向进行分解.由题意可知∠OCD＝90°，所以在Rt△OCD中，sin∠COD＝＝＝＝sin 30°＝，所以＝2.

4. 已知平行四边形ABCD中A(－1，0)，B(3，0)，C(1，－5)，则点D的坐标为　(－3，－5)　.

解析：由题意可知，＝.设点D的坐标为(x，y)，所以(x＋1，y)＝(－2，－5)，所以解得故点D的坐标为(－3，－5).

1. 向量的线性运算(加法、减法、实数与向量的积)可转化为坐标运算，借助坐标运算讨论平行共线、向量表示等，可使问题简单，目标明确.

2. 应用等价转化思想处理问题，如点共线转化为向量共线，基底的转化等.

3. 你还有哪些体悟，写下来：