2020版江苏高考数学一轮复习学案：第51课《简单的轨迹方程》(含解析)

第51课　简单的轨迹方程

1. 了解曲线与方程的对应关系.

2. 了解求轨迹方程的一些常见方法：定义法、直接法、相关点法，并能学会运用这些方法求简单轨迹(方程).

1. 阅读：选修21教材第60～65页.

2. 解悟：①求曲线方程的一般步骤是什么？你能用流程图表示出来吗？②建立圆、椭圆、双曲线、抛物线方程的过程，查看教材相应内容；③求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.

3. 践习：在教材空白处，完成选修21第64页练习1，2.

　基础诊断　

1. 已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹方程为　y＝x2－，x∈[－，].

解析：因为点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上，所以x2＋y2＝1.设点Q(x0，y0)＝(x＋y，xy)，则所以x＝x2＋2xy＋y2＝1＋2y0，即点Q的轨迹方程为y＝x2－.因为≤＝，所以x＋y∈[－，]，即x0∈[－，]，所以点Q的轨迹方程为y＝x2－，x∈[－，].

2. 两条直线x－my－1＝0与mx＋y－1＝0的交点的轨迹方程是　x2＋y2－x－y＝0(x2＋y2≠0)　.

解析：设交点坐标为(a，b)，则坐标满足方程组解得即＝，则a2＋b2－a－b＝0，故交点的轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0(x2＋y2≠0).

3. 若分别过点A1(－1，0)，A2(1，0)作两条互相垂直的直线，则它们的交点M的轨迹方程是　x2＋y2＝1　Ｗ.

解析：交点M的轨迹是以A1A2为直径的圆，所以圆心为(0，0)，半径为1，轨迹方程为x2＋y2＝1.

4. 若动圆M过点P(0，2)且与直线y＝－2相切，则圆心M的轨迹方程是　x2＝8y　.

解析：根据题意动圆的圆心M到点P(0，2)与到直线y＝－2的距离相等，则M的轨迹为以P(0，2)为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线，则其轨迹方程为x2＝8y.

　范例导航　

考向❶  直接法求轨迹方程

例1　已知线段AB长为2，动点M到A，B两点的距离的平方和为10，求点M的轨迹方程.

解析：以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

则点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0).

设动点M的坐标为(x，y)，

因为动点M到A，B两点的距离的平方和为10，

所以MA2＋MB2＝10，所以(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝10，

化简得x2＋y2＝4.

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－，求动点P的轨迹方程.

解析：因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，

所以点B的坐标为(1，－1).

设点P的坐标为(x，y).

因为直线AP与BP的斜率之积等于－，

所以·＝－(x≠±1)，

化简得x2＋3y2＝4(x≠±1).

故所求动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1).

考向❷  相关点法求轨迹方程

例2　已知B是椭圆＋＝1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程.

解析：设动点M的坐标为(x，y)，设点B的坐标为(x0，y0)，

由M为线段AB的中点，得

所以 即点B的坐标为(2x－2a，2y).

又B是椭圆＋＝1上的动点，

所以＋＝1， 将点B的坐标为(2x－2a，2y)代入得＋＝1，整理得点M的轨迹方程为＋＝1.

如图，设λ>0，点A的坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x2上运动，且满足＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程.

解析：由＝λ知，Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，

则x2－y0＝λ(y－x2)，

所以y0＝(1＋λ)x2－λy. ①

设点B(x1，y1)， 由＝λ得(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，

从而 ②

将①式代入②式，消去y0，得

③

又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，将③式代入得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，

化简整理得2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0，

又λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.

故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.

　自测反馈　

1. 已知定点A(3，0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆P与圆C相外切，并且过点A，则动圆圆心P的轨迹方程为　－＝1(x≥2)　.

解析：设点P的坐标为(x，y).因为圆C与圆P相外切且圆P过点A，所以PC－PA＝4.因为AC＝6>4，所以点P的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的右支.因为a＝2，c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，所以动圆圆心P的轨迹方程为－＝1(x≥2).

2. 设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为　y2＝4x　.

解析：设点M(m，0)，P(0，n)，N(x，y)，由＝2得(x－m，y)＝2(－m，n)，则解得又因为⊥，＝(m，－n)，＝(1，－n)，所以m＋n2＝0，即－x＋＝0，即y2＝4x.故点N的轨迹方程为y2＝4x.

3. 与两定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为1∶2的点M的轨迹方程为　x2＋y2＋2x－3＝0　Ｗ.

解析：设点M(x，y)，由题意知OM＝AM，由两点间距离公式得x2＋y2＝[(x－3)2＋y2]，化简整理得x2＋y2＋2x－3＝0.

4. 已知点A(－2，0)，B(3，0)，且动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹方程为y2＝x＋6Ｗ.

解析：由题意得＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y).又因为·＝x2，所以(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，化简得y2＝x＋6，故点P的轨迹方程为y2＝x＋6.

1. 求曲线的方程一般有建系、设点、列式、化简、证明五个步骤，最后的证明可以省略，如有特殊情况，可作适当的说明，要注意挖去或补上一些点.

2. 将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即可得到动点的轨迹方程.

3. 你还有哪些体悟，写下来：