2020届高考数学一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 44(含解析)

第44节　两直线的位置关系

一、选择题

1.(2018上海模拟)坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2=0对称的点的坐标是(　　)

A. B.

C. D.

答案为：A

解析：直线x－2y＋2=0的斜率k=，设坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2=0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得即所求点的坐标是.

2.(2018厦门模拟)“c=5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋c=0的距离为3”的(　　)

A.充要条件 

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 

D.既不充分也不必要条件

答案为：B

解析：由点(2,1)到直线3x＋4y＋c=0的距离d==3，解得c=5或c=－25，故“c=5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋c=0的距离为3”的充分不必要条件.故选B.

3.(2018福建南平一模)已知直线l1：(3＋m)x＋4y=5－3m与l2：2x＋(5＋m)y=8.若l1∥l2，则m的值为(　　)

A.－1 B.－6

C.－7 D.－1或－7

答案为：C

解析：l1∥l2等价于=≠，解得m=－7.故选C.

4.(2018东城期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为(　　)

A.x－y＋1=0 B.x＋y＋1=0

C.x－y－1=0 D.x＋y－1=0

答案为：A

解析：因为直线AB的斜率为=－1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为y=x＋b，由题意知直线l过点，所以=＋b，即b=1，所以直线l的方程为y=x＋1，即x－y＋1=0.故选A.

5.(2018江西宜春模拟)在等腰三角形MON中，|MO|=|MN|，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)

A.3x－y－6=0 B.3x＋y＋6=0

C.3x－y＋6=0 D.3x＋y－6=0

答案为：C

解析：因为|MO|=|MN|，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN=－kMO=3.所以直线MN的方程为y－3=3(x＋1)，即3x－y＋6=0.故选C.

6.(2018银川模拟)曲线y=(x＋a)ex在x=0处的切线与直线x＋y＋1=0垂直，则a的值为(　　)

A.－1 B.0

C.1 D.2

答案为：B

解析：因为y=(x＋a)ex，所以y′=(1＋x＋a)ex.所以曲线y=(x＋a)ex在x=0处的切线的斜率k=y′|x=0=1＋a.又切线与直线x＋y＋1=0垂直，故1＋a=1，解得a=0.故选B.

7.(2018南昌检测)直线3x－4y＋5=0关于x轴对称的直线的方程是(　　)

A.3x＋4y＋5=0 B.3x＋4y－5=0

C.－3x＋4y－5=0 D.－3x＋4y＋5=0

答案为：A

解析：在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5=0上，所以3x－4(－y)＋5=0，即3x＋4y＋5=0.故选A.

8.(2018北京顺义区检测)若直线y=－2x＋3k＋14与直线x－4y=－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是(　　)

A.(－6，－2) B.(－5，－3)

C.(－∞，－6) D.(－2，＋∞)

答案为：A

解析：解方程组得因为直线y=－2x＋3k＋14与直线x－4y=－3k－2的交点位于第四象限，所以k＋6＞0且k＋2＜0，所以－6＜k＜－2.故选A.

二、填空题

9.(2018重庆检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7=0，直线l2的方程为6x＋8y＋1=0，则直线l1与l2的距离为________.

答案为：

解析：直线l1的方程为3x＋4y－7=0，直线l2的方程为6x＋8y＋1=0，即3x＋4y＋=0，∴直线l1与l2的距离为=.　

10.(2019四川攀枝花质检)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1=0的距离相等，则实数a的值为________.

答案为：－或－

解析：由题意及点到直线的距离公式，

得=，

解得a=－或－.　

11.(2018江西八校联考)已知点P(x，y)到A(0,4)和B(－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________.

答案为：4　

解析：由题意得点P在线段AB的中垂线上，则易得x＋2y=3，∴2x＋4y≥2=2=4　，当且仅当x=2y=时取等号.故2x＋4y的最小值为4　.

12.(2018甘肃天水二中模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1=0的距离不大于3，则a的取值范围是________.

答案为：[0,10]

解析：由题意得，点P到直线的距离为=.又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10].

三、解答题

13.(2018江西九校联考)已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)=0与点P(－2,2).

(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；

(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4　.

【证明】(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.

∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)=0，

∴解得故直线经过的定点为M(2，－2).

(2)过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当点Q与点M重合时，|PQ|=|PM|，

此时对应的直线方程是y＋2=x－2，即x－y－4=0.

但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4=0，

∴点M与点Q不可能重合.而|PM|=4　，∴|PQ|＜4　，故所证成立.