2020届高考数学一轮复习课时训练：第5章 平面向量 24(含解析)

【课时训练】第24节　平面向量基本定理及坐标表示

一、选择题

1.(2018丰台期末)已知向量a=(3，－4)，b=(x，y).若a∥b，则(　　)

A.3x－4y=0　 B.3x＋4y=0

C.4x＋3y=0 D.4x－3y=0

答案为：C

解析：∵a∥b，∴3y＋4x=0.故选C.

2.(2018河南新乡三模)已知向量a=(5,2)，b=(－4，－3)，c=(x，y).若3a－2b＋c=0，则c=(　　)

A.(－23，－12)　 B.(23,12)　

C.(7,0) D.(－7,0)

答案为：A

解析：由题意可得3a－2b＋c=3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)=(23＋x，12＋y)=(0,0)，

所以解得

所以c=(－23，－12).

3.(江苏苏州质检)若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，=(3,5)，=(2,4)，则=(　　)

A.(－1，－1)　 B.(5,9)

C.(1,1) D.(3,5)

答案为：A

解析：由题意可得==－=(2,4)－(3,5)=(－1，－1).

4.(2018浙江温州模拟)已知平面向量a=(1，－2)，b=(2，m).若a∥b，则3a＋2b=(　　)

A.(7,2)　 B.(7，－14)　

C.(7，－4) D.(7，－8)

答案为：B

解析：∵a∥b，∴m＋4=0，∴m=－4，∴b=(2，－4)，∴3a＋2b=3(1，－2)＋2(2，－4)=(7，－14).

5.(2018江西南昌二模)设向量a=(x,1)，b=(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是(　　)

A.2　　　　 B.－2　　　　　

C.±2 　　  D.0

答案为：B

解析：因为a与b方向相反，故可设b=ma，m<0，则有(4，x)=m(x,1)，所以解得m=±2.又m<0，所以m=－2，x=m=－2.

6.(2018山西临汾三模)设向量a=(1，－3)，b=(－2,4)，c=(－1，－2).若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d=(　　)

A.(2,6) B.(－2,6)

C.(2，－6) D.(－2，－6)

答案为：D

解析：设d=(x，y)，由题意知4a=4(1，－3)=(4，－12)，4b－2c=4(－2,4)－2(－1，－2)=(－6,20)，2(a－c)=2[(1，－3)－(－1，－2)]=(4，－2).又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d=0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)=(0,0)，解得x=－2，y=－6，所以d=(－2，－6).

7.(2018河北衡水二模)已知平行四边形ABCD中，=(3,7)，=(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)

A.　 B.

C. D.

答案为：D

解析：=＋=(－2,3)＋(3,7)=(1,10).∴==.∴=.

8.(2018广东揭阳质检)在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=，||=2.若=λ＋μ，则λ＋μ=(　　)

A.2　　 B.

C.2 D.4　

答案为：A

解析：因为||=2，∠AOC=，所以点C的坐标为(，).又=λOA＋μ，所以(，)=λ(1,0)＋μ(0,1)=(λ，μ)，所以λ=μ=，λ＋μ=2　.

二、填空题

9.(2018陕西西安二模)若A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)三点共线，则实数a的值为________.

答案为：－

解析：=(a－1,3)，=(－3,4)，由题意知∥，∴4(a－1)=3×(－3)，即4a=－5，∴a=－.

10.(2019四川眉山中学质检)在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点.若 =(4,3)，=(1,5)，则=________.

答案为：(－6,21)

解析：∵=－=(1,5)－(4,3)=(－3,2)，∴=2=2(－3,2)=(－6,4).又=＋=(4,3)＋(－6,4)=(－2,7)，∴=3=3(－2,7)=(－6,21).

11.(2018青海西宁质检)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示.若=λ＋μ，则λμ=________.

答案为：－3

解析：建立如题图所示的平面直角坐标系xAy，则=(2，－2)，=(1,2)，=(1,0).由题意可知(2，－2)=λ(1,2)＋μ(1,0)，即解得所以λμ=－3.

12.(2018江西宜春模拟)P={a|a=(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q={b|b=(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=________.

答案为：{(－13，－23)}

解析：集合P中，a=(－1＋m,1＋2m)，集合Q中，b=(1＋2n，－2＋3n).则得此时a=b=(－13，－23).

三、解答题

13.(2018湖南长沙二模)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆

弧上运动.若=x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值.

【解】以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为，

设∠AOC=α，则点C的坐标为(cos α，sin α)，　

由=x＋y，得

所以x=cos α＋sin α，y=sin α，

所以x＋y=cos α＋sin α=2sin，

又α∈，则α＋∈.

所以当α＋=，即α=时，x＋y取得最大值2.