2020届高考数学一轮复习课时训练：第14章 选修部分 70(含解析)

【课时训练】第70节　参数方程

解答题

1.(2018河南郑州模拟)已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ=2　cos (θ－)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.

(1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.

【解】(1)ρ=2　cos =2(cos θ＋sin θ)，

即ρ2=2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x2＋y2－2x－2y=0，

故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2=2.

(2)C1的普通方程为x＋y＋2=0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，以为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d==，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.

2.(2018福建三明质检)在极坐标系中，已知三点O(0,0)，A，B.

(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；

(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为(θ是参数).若圆C1与圆C2外切，求实数a的值.

【解】(1)O(0,0)，A，B 对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，则过点O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y=0，将代入可求得经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ=2　cos .

(2)圆C2：(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2=a2，圆心为(－1，－1)，半径为|a|，而圆C1的圆心为(1,1)，半径为，所以当圆C1与圆C2外切时，有＋|a|=，解得a=±.

3.(2018江西百校联盟)在平面直角坐标系xOy中，C1：(t为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33=0.

(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值.

【解】(1)由可得其普通方程为y=k(x－1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k的直线.

由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33=0可得其直角坐标方程为x2＋y2＋10x－6y＋33=0，整理得(x＋5)2＋(y－3)2=1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆.

(2)因为圆心(－5,3)到直线y=k(x－1)的距离d==，故|PQ|的最小值为－1，故－1=2，得3k2＋4k=0，解得k=0或k=－.

4.(2018贵州贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P的直角坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ=5，直线l过点P且与曲线C相交于A，B两点.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若|AB|=8，求直线l的直角坐标方程.

【解】(1)由ρ=5知ρ2=25，所以x2＋y2=25，

即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2=25.

(2)设直线l的参数方程为(t为参数)①

将参数方程①代入圆的方程x2＋y2=25，

得4t2－12(2cos α＋sin α)t－55=0，

∴Δ=16[9(2cos α＋sin α)2＋55]>0，

上述方程有两个相异的实数根，设为t1，t2，

∴|AB|=|t1－t2|==8，

化简有3cos2 α＋4sin αcos α=0，

解得cos α=0或tan α=－，

从而可得直线l的直角坐标方程为x＋3=0或3x＋4y＋15=0.

5.(2018辽宁五校联考)已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t=α与t=2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点.

(1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.

【解】(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π).

(2)点M到坐标原点的距离d==(0＜α＜2π).

当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点.