2020届高考数学一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 12(含解析)

【课时训练】第12节　函数模型及其应用

一、选择题

1.(2018德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent，假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等.若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为(　　)

A.5　 B.8　

C.9　 D.10

答案为：A

解析：∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=a，可得n=ln ，∴f(t)=a·，因此，当k min后甲桶中的水只有 L时， f(k)=a·=a，即=，∴k=10，则m=k－5=5.

2.(2018安徽淮南模拟)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是(　　)

答案为：C

解析：由三视图可知，该容器上部分为圆台下部分是一个与上部分形状相同的倒放的圆台，所以水面高度随时间的变化为先慢后快再慢的情况.故选C.

3.(2018北京西城模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH=－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)

A. B.

C. D.

答案为：C

解析：∵[H＋]·[OH－]=10－14，∴=[H＋]2×1014，∵7.35<－lg [H＋]<7.45，

∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<=1014·[H＋]2<10－0.7，10－0.9=>，lg(100.7)=0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10－0.7<<，∴<<.故选C.

4.(2018四川内江模拟)某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P=，Q= (a>0).若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为(　　)

A. B.5

C. D.2

答案为：A

解析：设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润y=P＋Q=＋·.令y≥5，则＋·≥5对0≤x≤20恒成立.∴a≥10－，∴a≥对0≤x<20恒成立.∵f(x)=的最大值为，且x=20时，a≥10－也成立，∴amin=.故选A.

二、填空题

5.(2018山东日照一模)某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件.若要获得最大利润，销售价应定为每件________元.

答案为：190 元

解析：设售价提高x元，则依题意y=(1 000－5x)×(20＋x)=－5x2＋900x＋20 000=－5(x－90)2＋60 500.

故当x=90时，ymax=60 500，此时售价为每件190元.

6.(2018浙江台州一模)现有含盐7%的食盐水200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是________.

答案为：(100,400)

解析：设y=，令5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得100＜x＜400.

7.(2019陕西宝鸡质检)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

答案为：9

解析：由已知可得

y=

=由y=22.6解得x=9.

8.(2018湖南永州模拟)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1).

答案为：8

解析：设过滤n次才能达到市场要求，则2%n≤0.1%，即n≤，所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n=8.

9.(2018湖北七州第一次联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P=P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时.

答案为：10

解析：由题设可得(1－0.1)P0=P0e－5k，即0.9=e－5k，故－5k=ln 0.9；又(1－0.19)P0=P0e－kt，即0.81=e－kt，故－kt=ln 0.81=2ln 0.9=－10k，故t=10，应填10.

10.(2018四川南充模拟)渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)，则鱼群年增长量的最大值是________.

答案为：

解析：由题意，空闲率为1－，

∴y=kx，定义域为(0，m)，

y=kx=－2＋，

∵x∈(0，m)，k＞0，∴当x=时，ymax=.

三、解答题

11.(2018江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地.如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上.已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10,20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正常数).

(1)试用x表示S，并求S的取值范围；

(2)求总造价T关于面积S的函数T=f(S)；

(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?

【解】(1)在Rt△PMC中，显然|MC|=30－x，∠PCM=60°，|PM|=|MC|·tan∠PCM=(30－x)，

∴矩形AMPN的面积S=|PM|·|AM|=

x(30－x)，x∈[10,20]，

∴200≤S≤225.

(2)矩形AMPN健身场地造价T1=37k，

又∵△ABC的面积为450，∴草坪造价T2=(450－S).

∴总造价T=T1＋T2=25k，

200≤S≤225.

(3)∵＋≥12，

当且仅当=，即S=216时等号成立，

此时x(30－x)=216，解得x=12或x=18.

答：选取|AM|为12米或18米时总造价T最低.

12.(2018福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：

y=

且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.

(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

【解】(1)当x∈[200,300]时，该项目获利为S，则S=200x－=－(x－400)2，

∴当x∈[200,300]时，S<0，因此，该项目不会获利.

当x=300时，S取得最大值－5 000，

∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损.

(2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：

=

当x∈[120,144)时，=x2－80x＋5 040=(x－120)2＋240，

∴当x=120时，取得最小值240.

当x∈[144,500)时，=x－200＋≥2－200=400－200=200，

当且仅当=，即x=400时，取得最小值200.

∵240>200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.