2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：小题必刷卷7《平面向量、数系的扩充与复数的引入》(含解析)

小题必刷卷(七)　平面向量、数系的扩充与复数的引入

考查范围:第24讲~第27讲

题组一　刷真题

角度1　复数的概念、几何意义及运算

1.[2017·全国卷Ⅰ] 下列各式的运算结果为纯虚数的是 (　　)

A.i(1+i)2 B.i2(1-i)

C.(1+i)2 D.i(1+i)

2.[2016·全国卷Ⅰ] 设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a= (　　)

A.-3 B.-2

C.2 D.3

3.[2018·浙江卷] 复数(i为虚数单位)的共轭复数是 (　　)

A.1+i B.1-i

C.-1+i D.-1-i

4.[2018·全国卷Ⅰ] 设z=+2i,则|z|= (　　)

A.0 B.

C.1 D.

5.[2018·北京卷] 在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于 (　　)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

6.[2018·江苏卷] 若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为　　　　. 

7.[2018·天津卷] i是虚数单位,复数=　　　　. 

角度2　平面向量的概念、平面向量基本定理及向量

坐标运算

8.[2015·全国卷Ⅱ] 向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= (　　)

A.-1 B.0         C.1 D.2

9.[2018·全国卷Ⅰ] 在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= (　　)

A.-

B.-

C.+

D.+

10.[2018·全国卷Ⅲ] 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ),若c∥(2a+b),则λ=　　　　. 

角度3　平面向量的数量积及应用

11.[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量=,,=,,则∠ABC= (　　)

A.30° B.45°

C.60° D.120°

12.[2018·全国卷Ⅱ] 已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= (　　)

A.4 B.3

C.2 D.0

13.[2017·全国卷Ⅱ] 设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 (　　)

A.a⊥b B.|a|=|b|

C.a∥b D.|a|>|b|

14.[2018·天津卷] 在如图X7-1的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,则·的值为              (　　)

图X7-1

A.-15 B.-9

C.-6 D.0

15.[2017·全国卷Ⅲ] 已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=　　　　. 

16.[2017·天津卷] 在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为　　　　. 

17.[2017·北京卷] 已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为　　　　. 

18.[2018·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为　　　　. 

题组二　刷模拟

19.[2018·贵州黔东南二模] 若复数z=,则= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1 B.-1 C.i D.-i

20.[2018·北京西城区4月模拟] 若复数(a+i)(3+4i)的实部与虚部相等,则实数a=(　　)

A.7 B.-7 C.1 D.-1

21.[2018·河南安阳二模] 若复数z=1-i,为z的共轭复数,则复数的虚部为 (　　)

A.i B.-i C.1 D.-1

22.[2018·福州5月质检] 设向量a=(m,2m+1),b=(m,1),若|a-b|2=|a|2+|b|2,则实数m= (　　)

A.-2± B.-1 C.0 D.1

23.[2018·广东东莞三模] 已知向量a与b满足|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a,则向量a与b的夹角为              (　　)

A. B. C. D.

24.[2018·安徽蚌埠三模] 已知△ABC中,=2,若=λ+μ,则λ= (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

25.[2018·四川成都七中月考] 若向量=,,=(,1),则△ABC的面积为 (　　)

A. B. C.1 D.

26.[2018·济南模拟] 欧拉公式eix=cos x+i·sin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x=π时,eiπ+1=0被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知,e4i表示的复数在复平面内位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

27.[2018·郑州三模] 在△ABC中,AD⊥AB,=3,||=1,则·= (　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

28.[2018·石家庄一模] 在△ABC中,点D在边AB上,且=,设=a, =b,则= (　　)

A.a+b B.a+b

C.a+b D.a+b

29.[2018·重庆巴蜀中学月考] 在平行四边形ABCD中,∠BAD=,AB=2,AD=1,若M,N分别是边BC,CD的中点,则·的值是              (　　)

A. B.2

C.3 D.

30.[2018·安徽安庆二模] 若|a|=1,|b|=且|a-2b|=,则向量a与向量b夹角的大小是　　　　. 

31.[2018·常州模拟] 若复数z满足z·2i=|z|2+1(其中i是虚数单位),则|z|=　　　　. 

32.[2018·广东佛山二模] 在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=2,D为BC的中点,点E在斜边AC上,若=2,则·=　　　　 . 

33.[2018·合肥三模] 已知=(2,0),=(0,2),=t,t∈R.当||最小时,t=　　　　. 

小题必刷卷(七)

1.C　[解析] 因为i(1+i)2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,所以选C.

2.A　[解析] 因为(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,所以由已知,得a-2=1+2a,解得a=-3.

3.B　[解析] ==1+i,其共轭复数为1-i,故选B.

4.C　[解析] z=+2i=+2i=i,所以|z|==1,故选C.

5.D　[解析] ∵==+i,∴其共轭复数为-i,在复平面内对应的点位于第四象限.

6.2　[解析] 由i·z=1+2i,得z==2-i,则z的实部为2.

7.4-i　[解析] ===4-i.

8.C　[解析] 2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.

9.A　[解析] 如图,=-=-=-×(+)=- ,故选A.

10.　[解析] 2a+b=(4,2),由c∥(2a+b)可得=,即λ=.

11.A　[解析] cos∠ABC==×+×=,∵∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°.

12.B　[解析] a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故选B.

13.A　[解析] 将|a+b|=|a-b|两边平方,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,于是有a·b=0,所以a⊥b.

14.C　[解析] 连接MN,由=2,=2,可得MN∥BC,且BC=3MN,所以=3,所以·=3·=3(-)·=3(·-)=3×(1×2×cos 120°-12)=-6.故选C.

15.2　[解析] ∵a⊥b,∴a·b=-2×3+3m=0,解得m=2.

16.　[解析] ∵·=3×2×cos 60°=3,=+,∴·=+·(λ-)=×3+×4-×9-×3=-4,解得λ=.

17.6　[解析] 设P(x1,y1).因为=(2,0),=(x1+2,y1),所以·=2(x1+2)=2x1+4.由题意可知-1≤x1≤1,所以2≤2x1+4≤6,故·的最大值为6.

18.3　[解析] 因为点A 为直线l:y=2x上在第一象限内的点,所以可设A(a,2a)(a>0),则AB的中点为C,a,圆C的方程为(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.由得D(1,2),则=(5-a,-2a),=,2-a,又·=0,所以(5-a)·+(-2a)(2-a)=0,解得a=3或a=-1.又a>0,所以a=3,则点A的横坐标为3.

19.C　[解析] z====-i,则=i.故选C.

20.B　[解析] (a+i)(3+4i)=3a-4+(4a+3)i,依题意3a-4=4a+3,得a=-7.故选B.

21.C　[解析] 因为z=1-i,所以z=2,所以==i,其虚部为1,故选C.

22.B　[解析] |a-b|2=(m-m)2+(2m+1-1)2=4m2,|a|2=m2+(2m+1)2=5m2+4m+1,|b|2=m2+1,因为|a-b|2=|a|2+|b|2,所以4m2=5m2+4m+1+m2+1,即m2+2m+1=0,解得m=-1.故选B.

23.C　[解析] 设向量a与b的夹角为α,由(a-b)⊥a得(a-b)·a=0,a2-a·b=0,a2-|a||b|cos α=0,2-×2cos α=0,所以cos α=,所以α=.故选C.

24.C　[解析] =+=+=+(-),所以=-,所以=3-2,则λ=3.故选C.

25.A　[解析] 因为=,,=(,1),所以||=1,||=2,与夹角的余弦值为=,所以∠ABC=150°,所以S△ABC=×1×2×=,故选A.

26.C　[解析] 由已知有e4i=cos 4+i·sin 4,因为π<4<,所以4在第三象限,所以cos 4<0,sin 4<0,故e4i表示的复数在复平面内位于第三象限,故选C.

27.D　[解析] =+=++=+4,又AD⊥AB,所以·=(+4)·=4·=4||||cos∠ADB=4||2=4.故选D.

28.B　[解析] 因为=-=a-b,=,所以==a-b,所以=+=b+a-b=a+b,故选B.

29.D　[解析] 由题得·=(+)·(+)=·+·+·+·=2×1×+×2×2+×1×1+×1×2×=,故选D.

30.　[解析] 由|a-2b|=得|a|2-4a·b+4|b|2=7,∴1-4a·b+4×3=7,∴a·b=,∴cos<a,b>==,∴<a,b>=.

31.1　[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),因为z·2i=|z|2+1,所以-2b+2ai=a2+b2+1,所以解得所以z=-i,则|z|=1.

32.　[解析] 以B为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),D(0,1),E,.所以=,,=(-1,2),所以·=×(-1)+×2=.

33.　[解析] 因为=t,所以-=t(-),得=t+(1-t)=(2-2t,2t),||==2,当t=时,||有最小值.