2021年高考数学一轮精选练习：52《抛物线》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：52《抛物线》一         、选择题1.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于(　 　)A.           B.        C.           D. 2.已知抛物线y2=2px(p＞0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　 　)A.y2=4x       B.y2=－4x      C.y2=8x       D.y2=－8x 3.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)，若直线y=2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C方程为(　 　)A.x2=8y       B.x2=4y        C.x2=2y         D.x2=y 4.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|=|MF|=(O为坐标原点)，则·=(　 　)A.－           B.           C.            D.－ 5.如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　 　)A.       B.       C.       D. 6.已知抛物线C：y2=2x，过焦点F且斜率为的直线与C交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则S△MFN=(　 　)A.8          B.2        C.4          D.8 7.已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7，则抛物线E的方程为(　 　)A.y2=x           B.y2=2x          C.y2=4x           D.y2=8x   8.抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，过AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　 　)A.          B.1         C.          D.2 二         、填空题9.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.当水面宽为2 m时，水位下降了　 　m. 10.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2=2px(p＞0)经过C，F两点，则=        . 11.已知抛物线C1：y=ax2(a＞0)的焦点F也是椭圆C2：＋=1(b＞0)的一个焦点，点M，P(1.5,1)分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|＋|MF|的最小值为     . 12.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率k=－，则线段PF的长为         . 13.设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2=r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是       .             三         、解答题14.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2=－p2，x1x2=；(2)＋为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.             15.已知直线y=k(x－2)与抛物线Γ：y2=x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交Γ于点N.(1)证明：抛物线Γ在点N处的切线与直线AB平行；(2)是否存在实数k使·=0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.                      16.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.             
答案解析1.答案为：B；解析：由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x=－1，由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(－1,2)，所以kAF==－，所以直线AF的倾斜角等于，故选B. 2.答案为：D；解析：因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|=2p，所以S△CAB=×2p×=24，解得p=4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2=8x，所以直线AB的方程为x=2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=－8x，故选D. 3.答案为：C；解析：由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则=4，得p=1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2=2y. 4.答案为：A；解析：不妨设M(m，)(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|=|MF|=，所以解得m=，p=2，所以=，=，所以·=－2=－.故选A. 5.答案为：A；解析：过A，B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N，则|AM|=|AF|－1，|BN|=|BF|－1.可知====，故选A. 6.答案为：B；解析：不妨设点P在x轴上方，如图，由抛物线定义可知|PF|=|PM|，|QF|=|QN|，设直线PQ的倾斜角为θ，则tanθ=，所以θ=，由抛物线焦点弦的性质可知，|PF|===2，|QF|===，所以|MN|=|PQ|·sinθ=(|PF|＋|QF|)·sin=×=4，所以S△MFN=×|MN|×p=×4×=2，故选B. 7.答案为：C；解析：由题意，得F，直线AB的方程为y=x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立y=x－和y2=2px得，y2－2py－p2=0，则y1＋y2=2p，所以y0==p，故N(0，p)，又因为点M在直线AB上，所以x0=，即M，因为MC⊥AB，所以kAB·kMC=－1，故kMC=－1，从而直线MC的方程为y=－x＋p，令y=0，得x=p，故C，四边形CMNF的面积可以看作直角梯形CMNO与直角三角形NOF的面积之差，即S四边形CMNF=S梯形CMNO－S△NOF=·p－p·=p2=7，∴p2=4，又p＞0，∴p=2，故抛物线E的方程为y2=4x，故选C. 8.答案为：A；解析：过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，如图，由题意知|MN|=(|AA1|＋|BB1|)=(|AF|＋|BF|)，在△AFB中，|AB|2=|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos120°=|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|，∴2=·==≤×=，当且仅当|AF|=|BF|时取等号，∴的最大值为.  一         、填空题9.答案为：1；解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2=－2py(p＞0)，把(2，－2)代入方程得p=1，即抛物线的标准方程为x2=－2y.将x=代入x2=－2y得：y=－3，又－3－(－2)=－1，所以水面下降了1 m. 10.答案为：1＋；解析：|OD|=，|DE|=b，|DC|=a，|EF|=b，故C，F，又抛物线y2=2px(p＞0)经过C、F两点，从而有即∴b2=a2＋2ab，∴2－2·－1=0，又＞1，∴=1＋. 11.答案为：2；解析：将P代入到＋=1中，可得＋=1，∴b=，∴c=1，∴抛物线的焦点F为(0,1)，∴抛物线C1的方程为x2=4y，准线为直线y=－1，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|，∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值，易知当D，M，P三点共线时，|MP|＋|MD|最小，最小值为1－(－1)=2. 12.答案为：6；解析：由抛物线方程为y2=6x，所以焦点坐标F，准线方程为x=－，因为直线AF的斜率为－，所以直线AF的方程为y=－，画图象如图.当x=－时，y=3，所以A，因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3，可得点P的坐标为，根据抛物线的定义可知|PF|=|PA|=－=6. 13.答案为：(2,4)；解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)=4(x1－x2).当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条.当k存在时，x1≠x2，则有·=2，又y1＋y2=2y0，所以y0k=2.由CM⊥AB，得k·=－1，即y0k=5－x0，因此2=5－x0，x0=3，即M必在直线x=3上.将x=3代入y2=4x，得y2=12，则有－2＜y0＜2.因为点M在圆上，所以(x0－5)2＋y=r2，故r2=y＋4＜12＋4=16.又y＋4＞4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，所以4＜r2＜16，即2＜r＜4.  二         、解答题14.证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为x=my＋，代入y2=2px，得y2=2p，即y2－2pmy－p2=0.(*)因为在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点.则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2=－p2.因为y=2px1，y=2px2，所以yy=4p2x1x2，所以x1x2===.(2)＋=＋=.因为x1x2=，x1＋x2=|AB|－p，代入上式，得＋==(定值).(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，则|MN|=(|AC|＋|BD|)=(|AF|＋|BF|)=|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 15.解：(1)证明：由消去y并整理，得2k2x2－(8k2＋1)x＋8k2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=4，∴xM==，yM=k(xM－2)=k=.由题设条件可知，yN=yM=，xN=2y=，∴N.设抛物线Γ在点N处的切线l的方程为y－=m，将x=2y2代入上式，得2my2－y＋－=0.∵直线l与抛物线Γ相切，∴Δ=1－4×2m×==0，∴m=k，即l∥AB.(2)假设存在实数k，使·=0，则NA⊥NB.∵M是AB的中点，∴|MN|=|AB|.由(1)，得|AB|=|x1－x2|=·=·=·.∵MN⊥y轴，∴|MN|=|xM－xN|=－=.∴=·，解得k=±.故存在k=±，使得·=0. 16.解：(1)可设AB：y=kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x2－2pkx－2p=0，显然方程有两个不等实根，则x1＋x2=2pk，x1x2=－2p.①又x2=2py，得y′=，则A，B处的切线斜率乘积为=－=－1，则有p=2.(2)设切线AN为y=x＋b，又切点A在抛物线y=上，∴y1=，∴b=－=－，∴yAN=x－.同理yBN=x－.又∵N在yAN和yBN上，∴解得N.∴N(pk，－1).|AB|=|x2－x1|=·，点N到直线AB的距离d==，S△ABN=·|AB|·d=≥2，∴2=4，∴p=2.故抛物线C的方程为x2=4y.