2021年高考数学一轮精选练习：69《坐标系》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：69《坐标系》 1.已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y=0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ=.(1)求圆C和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.                2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y=x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.               3.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值.               4.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x=4.曲线C的参数方程是(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；(2)若射线θ=α与曲线C交于点O，A，与直线l交于点B，求的取值范围.                5.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos=2.已知点Q是曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|·|OP|=4，动点P的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值.                6.在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2=1.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)=5.(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标.                     7.在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R.(1)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，点R的直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时点P的直角坐标.              8.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.              
答案解析1.解：(1)∵ρ2=x2＋y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y=0，∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ=0，∴圆C的极坐标方程为ρ=2sin.又直线l的参数方程为(t为参数)，消去t后得y=x＋1，∴直线l的极坐标方程为sin θ－cos θ=.(2)当θ=时，|OP|=2sin=2，∴点P的极坐标为，|OQ|==，∴点Q的极坐标为，故线段PQ的长为. 2.解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2=1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7=0，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ=(ρ∈R).(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7=0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2=2＋2，ρ1ρ2=7，∴＋===. 3.解：(1)∵C1的参数方程为∴C1的普通方程为＋y2=1.由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ=2acos θ(a为半径)，将D代入，得2=2a×，∴a=2，∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2=4.(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ=1，即ρ2=.∴ρ=，ρ==.∴＋=＋=. 4.解：(1)由ρcos θ=x，得直线l的极坐标方程为ρcos θ=4.曲线C的参数方程为(φ为参数)，消去参数φ得曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2=2，即x2＋y2－2x－2y=0，将x2＋y2=ρ2，x=ρcos θ，y=ρsin θ代入上式得ρ2=2ρcos θ＋2ρsin θ，所以曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ＋2sin θ.(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则ρ1=2cos α＋2sin α，ρ2=，所以====(sin 2α＋cos 2α)＋=sin＋，因为0<α<，所以<2α＋<，所以<sin≤1，所以<sin＋≤.故的取值范围是. 5.解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，Q的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，则|OP|=ρ，|OQ|=ρ1=，由|OQ|·|OP|=4得C2的极坐标方程为ρ=2cos(ρ>0)，所以ρ=cos θ＋sin θ，两边乘ρ得ρ2=ρcos θ＋ρsin θ，因为ρ2=x2＋y2，ρcos θ=x，ρsin θ=y，所以x2＋y2－x－y=0，所以C2的直角坐标方程为2＋2=1(x2＋y2≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)，由题设及(1)知|OA|=2，ρB=2cos，于是△AOB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=2cos·=2=2≤，当α=0时，S取得最大值.所以△AOB面积的最大值为. 6.解：(1)x2＋(y－1)2=1即x2＋y2－2y=0，因为ρ2=x2＋y2，ρsin θ=y，所以圆C的极坐标方程为ρ2=2ρsin θ，即ρ=2sin θ.ρ(cos θ＋sin θ)=5即ρcos θ＋ρsin θ=5，因为ρcos θ=x，ρsin θ=y，所以直线l的直角坐标方程为y=－x＋5.(2)曲线C：x2＋(y－1)2=1是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆.设圆上点A(x0，y0)到直线l：y=－x＋5的距离最短，所以圆C在点A处的切线与直线l：y=－x＋5平行.即直线CA与l的斜率的乘积等于－1，即×(－)=－1.①因为点A在圆上，所以x＋(y0－1)2=1，②联立①②可解得x0=－，y0=或x0=，y0=.所以点A的坐标为或.又由于圆上点A到直线l：y=－x＋5的距离最小，所以点A的坐标为，点A的极径为 =，极角θ满足tan θ=且θ为第一象限角，则可取θ=.所以点A的极坐标为. 7.解：(1)由于x2＋y2=ρ2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，则曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程为＋y2=1.点R的直角坐标为(2,2).(2)设P(cos θ，sin θ)，根据题意，可令Q(2，sin θ)，则|PQ|=2－cos θ，|QR|=2－sin θ，所以|PQ|＋|QR|=4－2sin，当θ=时，(|PQ|＋|QR|)min=2.所以矩形PQRS周长的最小值为4，且P. 8.解：(1)由ρcos=1得ρ=1.从而C的直角坐标方程为x＋y=1，即x＋y=2.当θ=0时，ρ=2，所以M(2,0).当θ=时，ρ=，所以N.(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).