2021年高考数学一轮精选练习：20《三角函数的图象与性质》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

20《三角函数的图象与性质》

一         、选择题

1.在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos，④y=tan中，最小正周期为π的所有函数为(　 　)

A.①②③       B.①③④         C.②④          D.①③

2.关于函数y=tan，下列说法正确的是(　 )

A.是奇函数

B.在区间上单调递减

C.为其图象的一个对称中心

D.最小正周期为π

3.若是函数f(x)=sinωx＋cosωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)

A.2         B.4       C.6          D.8

4.已知x0=是函数f(x)=sin(2x＋φ)的一个极大值点，则f(x)的一个单调递减区间是(　 　)

A.      B.    C.      D.

5.已知函数f(x)=2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是(　   )

A.     B.       C.       D.

6.定义运算：a*b=例如1](　  　)

A.    B.[－1,1]     C.      D.

7.已知函数f(x)=2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为，若f(x)＞1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)

A.       B.    C.     D.

8.已知函数f(x)=sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对任意x∈R恒成立，且f＞0，则f(x)的单调递减区间是(　C　)

A.(k∈Z)          B.(k∈Z)

C.(k∈Z)      D.(k∈Z)

9.设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间上不单调的ω的个数是(　　)

A.6         B.7          C.8           D.9

二         、填空题

10.若函数f(x)=cos(0＜φ＜π)是奇函数，则φ=        .

11.已知关于x的方程2sin＋1－a=0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是          .

12.设函数f(x)=3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为         .

13.若函数f(x)=Acos2(ωx＋φ)＋1最大值为3，f(x)图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)=     .

三         、解答题

14.已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值；

(2)若f=，求cos的值.

15.已知f(x)=sin.

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；

(2)求f(x)的单调递增区间；

(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.

16.已知函数f(x)=2sin2－cos2x－1，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若h(x)=f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；

(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|＜3恒成立，求实数m的取值范围.

答案解析

1.答案为：A；

解析：①y=cos|2x|=cos2x，最小正周期为π；

②由图象知y=|cosx|的最小正周期为π；

③y=cos的最小正周期T==π；

④y=tan的最小正周期T=.

2.答案为：C；

解析：函数y=tan是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误.

∵当x=时，tan=0，∴为其图象的一个对称中心.

3.答案为：C;

解析：因为f(x)=sinωx＋cosωx=sin，由题意，

知f=sin=0，所以＋=kπ(k∈Z)，

即ω=8k－2(k∈Z)，当k=1时，ω=6.

4.答案为：B；

解析：因为x0=是函数f(x)=sin(2x＋φ)的一个极大值点，

所以sin=1，解得φ=2kπ－，k∈Z.

不妨取φ=－，此时f(x)=sin，

令2kπ＋＜2x－＜2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋＜x＜kπ＋π(k∈Z).

取k=0，得函数f(x)的一个单调递减区间为.

5.答案为：B；

解析：函数f(x)=2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，

则f(0)=2sinφ=，∴sinφ=，又|φ|＜，∴φ=，

则f(x)=2sin，令2x＋=kπ(k∈Z)，

则x=－(k∈Z)，当k=0时，x=－，

∴是函数f(x)的图象的一个对称中心.

6.答案为：D；

解析：根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可.

设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sinx≥cosx，f(x)=cosx，f(x)∈，

当0≤x＜或＜x≤2π时，cosx＞sinx，f(x)=sinx，f(x)∈∪[－1,0].

综上知f(x)的值域为.

7.答案为：B；

解析：由题意可得函数f(x)=2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.

∵f(x)的图象与直线y=3相邻两个交点的距离为，

∴f(x)的周期T=，∴=，解得ω=3，∴f(x)=2cos(3x＋φ)＋1.

∵f(x)＞1对任意x∈恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋1＞1，

即cos(3x＋φ)＞0，对任意x∈恒成立，

∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，

解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.

结合|φ|＜可得当k=0时，φ的取值范围为.

8.答案为：C；

解析：由题意可得函数f(x)=sin(2x＋φ)的图象关于直线x=对称，

故有2×＋φ=kπ＋，k∈Z，即φ=kπ，k∈Z.

又f=sin＞0，所以φ=2nπ，n∈Z，

所以f(x)=sin(2x＋2nπ)=sin2x.

令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，

故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选C.

9.答案为：C；

解析：由ωx=＋kπ(k∈Z)得函数y=sinωx的图象的对称轴为x=＋(k∈Z).

∵函数y=sinωx在区间上不单调，∴＜＋＜(k∈Z)，

解得1.5＋3k＜ω＜2＋4k(k∈Z).由题意ω∈N*且ω≤15，

∴当k=0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；

当k=1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取5；

当k=2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取8,9；

当k=3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取11,12,13；

当k=4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取14,15.

故满足题意的ω有8个，分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C.

10.答案为：；

解析：因为f(x)为奇函数，所以φ－=＋kπ(k∈Z)，φ=＋kπ，k∈Z.

又因为0＜φ＜π，故φ=.

11.答案为：[2,3)；

解析：sin=在上存在两个根，设x＋=t，则t∈，

∴y=sint，t∈的图象与直线y=有两个交点，

∴≤＜1，∴2≤a＜3.

12.答案为：2；

解析：f(x)=3sin的周期T=2π×=4，

f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为=2.

13.答案为：4035；

解析：∵函数f(x)=Acos2(ωx＋φ)＋1=A·＋1

=cos(2ωx＋2φ)＋1＋的最大值为3，∴＋1＋=3，∴A=2.

根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，

即=4，∴ω=.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，

可得cos2φ＋1＋1=2，∴cos2φ=0，又0＜φ＜，∴2φ=，φ=.

故函数f(x)的解析式为f(x)=cos＋2=－sinx＋2，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)=

－

＋2×2 018=504×0－sin－sinπ＋4 036=－1＋4 036=4 035.

一         、解答题

14.解：(1)f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，

所以f(x)的最小正周期T=π，从而ω==2.

又因为f(x)的图象关于直线x=对称，

所以2·＋φ=kπ＋，k=0，±1，±2，….

由－≤φ＜得k=0，所以φ=－=－.

(2)由(1)得f=sin=，所以sin=.

由＜α＜得0＜α－＜，

所以cos===.

因此cos=sinα=sin

=sincos＋cossin=×＋×=.

15.解：(1)f(x)=sin，

令2x＋=kπ＋，k∈Z，得x=＋，k∈Z.

所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=＋，k∈Z.

(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(3)当x∈时，≤2x＋≤，

所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，

所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.

16.解：(1)因为f(x)=－cos－cos2x=sin2x－cos2x=2=2sin，

故f(x)的最小正周期为π.

(2)由(1)知h(x)=2sin.

令2×＋2t－=kπ(k∈Z)，得t=＋(k∈Z)，

又t∈(0，π)，故t=或.

(3)当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈[1,2].

又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，

所以2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.

故实数m的取值范围是(－1,4).