2021高考物理（选择性考试）人教版一轮学案：1.2匀变速直线运动的规律及应用

第二节　匀变速直线运动的规律及应用

1．匀变速直线运动
(1)定义．
在变速直线运动中，如果在任意两段相等的时间内速度变化相等，这种运动就叫作匀变速直线运动．
(2)特点．
速度随时间均匀变化，加速度保持不变，是直线运动．
(3)分类和对比．

项目
速度变化
加速度方向与速度方向关系
加速度情况
匀加速直线运动
增大
同向
恒定
匀减速直线运动
减小
反向
2.匀变速直线运动公式
(1)速度公式：v＝v0＋at．
(2)位移公式：x＝v0t＋at2．
(3)位移速度关系式：v2－v＝2ax．

1．下列说法正确的是(　　)
A．匀变速直线运动是加速度均匀变化的运动
B．匀变速直线运动的位移是均匀增加
C．匀变速直线运动是加速度不变的运动
D．匀变速直线运动是速度不变的运动
答案：C

1．三个推论
(1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等．
即x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2．
(2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度．
平均速度公式：＝＝v.
(3)位移中点速度v＝.
2．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论
(1)T末，2T末，3T末，…，nT末的瞬时速度之比为
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n．
(2)T内，2T内，3T内，…，nT内的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2．
(3)第1个T内，第2个T内，第3个T内，…，第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)∶…∶(－)．

2．如图，一列火车在平直轨道上以加速度a匀加速行驶，设经过某一点A时速度为v0，经时间t后到达B点，再经时间t后到达C点．

(1)求火车到达B点和C点的速度；
(2)AB段、BC段的位移，BC段与AB段的位移差分别是多少？
(3)AC段的平均速度是多少？并与B点的瞬时速度进行比较．
解析：(1)vB＝v0＋at，
vC＝vB＋at＝v0＋2at.
(2)xAB＝v0t＋at2，
xBC＝(v0＋at)t＋at2＝v0t＋at2，
x＝xBC－xAB＝v0t＋at2－(v0t＋at2)＝at2.
(3)x′＝xAB＋xBC＝v0t＋at2＋v0t＋at2＝2v0t＋2at2，
＝＝＝v0＋at，
又由(1)知vB＝v0＋at，
所以＝vB，
故AC段的平均速度等于B点的瞬时速度．
答案：(1)v0＋at　v0＋2at.
(2)v0t＋at2　v0t＋at2　at2
(3)v0＋at　AC段的平均速度等于B点的瞬时速度


项目
自由落体运动
竖直上抛运动
受力情况
只受重力(或空气阻力的影响可以忽略)
运动特点
(1)初速度为0
(2)加速度为重力加速度g
(1)上升过程是加速度为g的匀减速直线运动
(2)下落过程是自由落体运动
运动规律
(1)速度公式：v＝gt
(2)位移公式：h＝gt2
(3)速度—位移关系式：v2＝2gh
v＝v0－gt
(1)速度公式 ：
(2)位移公式：
h＝v0t－gt2
(3)速度—位移关系式：
v2－v＝－2gh
(4)上升的最大高度：
H＝
(5)上升到最大高度用时：t＝

3．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．物体从高处下落的运动就是自由落体运动
B．自由落体运动是物体只在重力的作用下从静止下落的运动
C．竖直上抛运动是匀变速直线运动
D．竖直上抛运动是加速度改变的运动
答案：BC

匀变速直线运动是加速度大小和方向都不变的运动，自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，竖直上抛运动是初速度竖直向上，加速度始终为g的匀变速直线运动．



考点一 匀变速直线运动的基本规律及应用
1.解题基本思路

2．公式选用技巧

题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量)
没有涉及的物理量
适宜选用公式
v0、v、a、t
x
v＝v0＋at
v0、a、t、x
v
x＝v0t＋at2
v0、v、a、x
t
v2－v＝2ax
v0、v、t、x
a
x＝t
注意：(1)除时间t外，x、v0、v、a均为矢量，所以需要确定正方向，一般以初速度v0的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值，当v0＝0时，一般以加速度a的方向为正方向．
(2)五个物理量t、v0、v、a、x必须针对同一过程．
　在国家免收7座及以下的小汽车的高速通行费期间，免费车辆通过收费站时在专用车道上可以不停车直接减速通过．假设收费站的前、后都是平直大道，小汽车过站的车速要求不超过v＝21.6 km/h，若某小汽车通过收费站，其未减速的车速为v0＝108 km/h，制动加速度a1大小为4 m/s2.试问：
(1)驾驶员应在距收费站至少多远处开始制动？
(2)假设车过站后驾驶员立即使车以大小为6 m/s2的加速度a2加速至原来的速度，则从减速开始到最终恢复到原来速度的过程中，汽车运动的时间至少是多少？
(3)车因减速和加速过站而耽误的时间至少为多少？
[思维点拨]　

解析：设小汽车初速度方向为正方向，v＝21.6 km/h＝6 m/s，v0＝108 km/h＝30 m/s，a1＝－4 m/s2，a2＝6 m/s2.
(1)小汽车进入收费站前做匀减速直线运动，设距离收费站x1处开始制动，
则由v2－v＝2a1x1，解得x1＝108 m.
(2)小汽车通过收费站经历匀减速和匀加速两个阶段，
前后两段位移分别为x1和x2，时间为t1和t2.
在减速阶段有v＝v0＋a1t1，得t1＝6 s.
在加速阶段的初速度为v＝6 m/s，
末速度为v0＝30 m/s，则v0＝v＋a2t2，得t2＝4 s.
所以减速和加速的总时间t＝t1＋t2＝10 s.
(3)在加速阶段有v－v2＝2a2x2，解得x2＝72 m，
则减速和加速两个阶段的总位移x＝x1＋x2＝180 m，
若小汽车不减速，匀速通过需要时间t′＝＝ s＝6 s，
车因减速和加速过站而耽误的时间Δt＝t－t′＝4 s.
答案：(1)108 m　(2)10 s　(3)4 s


解多过程问题的技巧
如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带．
1．画：分清各阶段运动过程，画出草图．
2．找：找出交接处的速度．
3．列：列出各运动阶段的运动方程．
4．解：联立求解，算出结果．

考点二 解决匀变速直线运动问题的常用方法
1.基本公式法
应用速度公式 、位移公式、速度位移公式三个基本公式．它们均是矢量式，注意方向．
2．平均速度法
定义式＝对任何性质的运动都适用，而＝(v0＋v)适用于匀变速直线运动．
3．中间时刻速度法
利用“任一时间t中间时刻的瞬时速度等于这段时间t内的平均速度”，即v＝，适用于任何一个匀变速直线运动，有些题目应用它可以避免常规解法中用位移公式列出的含有t2的复杂式子，从而简化解题过程，提高解题速度．
4．比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的重要特征的比例关系，用比例法求解．
5．逆向思维法
把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，一般用于末态已知的情况．
6．图象法
应用v-t图象，可以使比较复杂的问题变得形象、直观和简单，尤其是用图象定性分析，可避开繁杂的计算，快速得出答案．
7．推论法
在匀变速直线运动中，两个连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即Δx＝xn＋1－xn＝aT2，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用Δx＝aT2求解．
　已知O、A、B、C为同一直线上的四个点，AB间的距离为l1，BC间的距离为l2.一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点．已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等．求O与A的距离．
[思维点拨]　①画出物体运动过程示意图；②写出自己想到的求解本题的方法．
解析：解法一：应用基本公式求解
设物体的加速度为a，到达A点的速度为v0，通过AB段和BC段所用的时间均为T，则有l1＝v0T＋aT2，①
l1＋l2＝v0×2T＋2aT2，②
联立①②式得l2－l1＝aT2，③
3l1－l2＝2v0T，④
设O与A的距离为l，则有l＝，⑤
联立③④⑤式得l＝.
解法二：应用逐差法xn－xn－1＝aT2等
对OB段应用位移速度公式，得v－02＝2a(l＋l1)，
到达B点的速度vB＝，对AB段与BC段，由公式xn－xn－1＝aT2，得l2－l1＝aT2，联立解出l＝.
答案：

解决匀变速直线运动问题时的三点提醒
1．养成根据题意画出物体运动示意图的习惯，尤其是较复杂的运动，画出示意图可以使运动过程更加直观和清晰．
2．匀变速直线运动常可一题多解，解题时要灵活选择合适的公式，筛选最简捷的方法．
3．列运动学方程时，方程式中每一个物理量均对应同一运动过程．


考点三 刹车类问题和双向可逆
1.刹车类运动和双向可逆类运动的理解

刹车类
问题
指匀减速到速度为零后即停止运动，求解时要注意确定其实际运动时间
双向可
逆类
如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义
2.刹车类问题的注意事项
(1)先确定刹车时间．若车辆从刹车到速度减到零所用的时间为T，则由公式vt＝v0＋aT(其中vt＝0，a＜0)可计算出刹车时间T＝－.
(2)将题中所给出的已知时间t与T比较．若T＜t，则在利用公式vt＝v0＋at、x＝v0t＋at2进行计算时，公式中的时间应为T；若T＞t，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t.
　(多选)在光滑足够长的斜面上，有一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动，物体的加速度始终为5 m/s2，方向沿斜面向下．当物体的位移大小为7.5 m时，下列说法正确的是(　　)
A．物体运动时间可能为1 s
B．物体运动时间可能为3 s
C．物体运动时间可能为(2＋) s
D．此时的速度大小一定为5 m/s
[思维点拨]　(1)位移大小为7.5 m时，物体的位置可能在出发点的上方，也可能在出发点的下方；
(2)在利用x＝v0t＋at2时，取v0方向为正方向，则a取负值，物体在出发点上方时x取正值，在出发点下方时x取负值．
解析：当物体在出发点上方时，由x＝v0t＋at2代入数据解得t＝1 s或t＝3 s；由v＝v0＋at，得v＝5 m/s或－5 m/s.当物体在出发点下方时，由x＝v0t＋at2代入数据，解得t＝(2＋) s；由v＝v0＋at，得v＝－5 m/s.故A、B、C正确，D错误．
答案：ABC

匀变速直线运动规律中应用的两个技巧
1．匀减速直线运动减速到零时，看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，会使运算量大大减小．
2．若已知匀变速直线运动的时间和位移，通常要考虑应用平均速度公式，求出中间时刻的瞬时速度．

考点四 自由落体运动与竖直上抛运动
1.对自由落体运动的两点提醒
(1)自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，匀变速直线运动的所有规律和推论均可使用．
(2)只在重力作用下，由静止开始的下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动不是自由落体运动．
2．竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段．
(2)全程法：将全过程视为初速度为v0，加速度为a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性．习惯上取v0的方向为正方向，则v＞0时，物体正在上升；v＜0时，物体正在下降；h＞0时，物体在抛出点上方；h＜0时，物体在抛出点下方．
3．竖直上抛运动的三个对称性

时间
对称
①物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到抛出点所用时间相等，即t上＝t下＝
②物体在上升过程中某两点之间所用的时间与下降过程中该两点之间所用的时间相等
速度
对称
①物体上抛时的初速度与物体又落回抛出点时的速度大小相等、方向相反
②物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反
能量
对称
竖直上抛运动的物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等
　如图所示是一种较精确测量重力加速度g值的装置．下端装有弹射装置的足够长的真空玻璃直管竖直放置，使小球竖直向上弹出，在O点与弹簧分离，然后返回．在O点正上方选取一点P，利用仪器精确测得OP间的距离为H，从O点出发至返回O点的时间间隔为T1，小球两次经过P点的时间间隔为T2.求：
(1)重力加速度g；
(2)若O点距玻璃管底部的距离为L0，求玻璃管最小长度．
[思维点拨]　画出运动过程示意图

解析：(1)小球从O点上升到最高点的时间为，有h1＝g
小球从P点上升到最高点的时间为，有
h2＝g
依据题意有h1－h2＝H，
联立解得g＝.
(2)玻璃管最小长度L＝L0＋h1，且
h1＝g＝解得L＝L0＋.
答案：(1)　(2)L0＋

竖直上抛运动的两种处理方法

分段法
上升阶段：a＝g的匀减速直线运动；
下降阶段：自由落体运动
全程法
初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(向上方向为正方向)．
若v＞0，物体上升，若v＜0，物体下落．
若h＞0，物体在抛出点上方，若h＜0，物体在抛出点下方



1.一质点做匀加速直线运动，速度变化Δv时发生位移x1，紧接着速度变化同样的Δv时发生位移x2，则该质点的加速度为(　　)
A．(Δv)2　　 B．2
C．(Δv)2 D.
解析：质点做匀加速直线运动，设质点初速度为v0，发生位移x1时末速度为v0＋Δv，紧接着发生位移x2时末速度为v0＋2Δv，质点的加速度为a，由运动学公式有(v0＋Δv)2－v＝2ax1；(v0＋2Δv)2－(v0＋Δv)2＝2ax2，由以上两式解得a＝，故D正确．
答案：D
2．一个物体做末速度为零的匀减速直线运动，比较该物体在减速运动的倒数第3 m、倒数第2 m、最后1 m内的运动，下列说法中正确的是(　　)
A．经历的时间之比是1∶2∶3
B．平均速度之比是3∶2∶1
C．平均速度之比是1∶(－1)∶(－)
D．平均速度之比是(＋)∶(＋1)∶1
解析：将物体所做末速度为零的匀减速直线运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，根据初速度为零的匀加速直线运动的推论可知，经历的时间之比是(－)∶(－1)∶1，故A错误；平均速度＝，x都是1 m，则平均速度之比与时间成反比，则平均速度之比是(＋)∶(＋1)∶1，故B、C错误，D正确．
答案：D
3．(多选)一汽车在水平面上运动，当它开始刹车时，其位移与时间的关系是：x＝12t－2t2(m)，其中的t单位是秒，则此汽车(　　)
A．经6 s停下来
B．2 s末的速度是8 m/s
C．刹车过程中行驶的距离是18 m
D．刹车过程中的平均速度是6 m/s
答案：CD
4.(多选)一物块以一定的初速度从光滑斜面底端a点上滑，最高可滑至b点，后又滑回至a点，c是ab的中点，如图所示．已知物块从a上滑至b所用时间为t，下列分析正确的是(　　)
A．物块从c运动到b所用的时间等于从b运动到c所用的时间
B．物块上滑过程的加速度与下滑过程的加速度等大反向
C．物块下滑从b运动至c所用时间为t
D．物块上滑通过c点时的速度大小等于整个上滑过程中平均速度的大小
答案：AC
5．(2019·湖南醴陵二中月考)从地面上将一个小球竖直上抛，经过时间t小球到达空中的某点A，再经过时间t小球又到达A点．不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．小球上升的最大高度为gt2
B．A点的高度为gt2
C．小球抛出时的速率为2gt
D．小球抛出时的速率为gt
答案：D
6．(2019·贵州遵义航天中学一模)空降兵某部官兵使用新装备从260 m超低空跳伞成功．若跳伞空降兵在离地面224 m高处，由静止开始在竖直方向做自由落体运动．一段时间后，立即打开降落伞，以12.5 m/s2的平均加速度匀减速下降，为了空降兵的安全，要求空降兵落地速度最大不得超过5 m/s(g取10 m/s2)．则(　　)
A．空降兵展开伞时离地面高度至少为125 m，相当于从2.5 m高处自由落下
B．空降兵展开伞时离地面高度至少为125 m，相当于从1.25 m高处自由落下
C．空降兵展开伞时离地面高度至少为99 m，相当于从1.25 m高处自由落下
D．空降兵展开伞时离地面高度至少为99 m，相当于从2.5 m高处自由落下
答案：C
7．甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变，在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增大为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲、乙两车在这两段时间间隔内走过的总位移之比．
解析：设时间间隔为t0，汽车甲在t0时的速度为v，第一段时间t0内行驶的位移为x1，加速度为a；在第二段时间t0内行驶的位移为x2.由运动学公式得v＝at0，x1＝at，x2＝at0·t0＋(2a)t＝2at，
总位移x甲＝x1＋x2＝at；
同理，汽车乙在第一、二段时间间隔内行驶的位移分别为x′1＝(2a)t＝at，x′2＝2at0·t0＋at＝at，
总位移x乙＝x′1＋x′2＝at.
则甲、乙两汽车各自行驶的总位移之比为＝.
答案：
8.物体以一定的初速度冲上固定的光滑的斜面，到达斜面最高点C时速度恰为零，如图所示．已知物体第一次运动到斜面长度处的B点时，所用时间为t.求物体从B滑到C所用的时间．
解析：解法一：逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面，故xBC＝at，xAC＝a(t＋tBC)2，又xBC＝xAC，解得：tBC＝t，
解法二：中间时刻速度法
利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度．
AC＝＝＝，又v＝2axAC，①
v＝2axBC，②
xBC＝xAC，③
解①②③得：vB＝.可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是中间时刻的位置．因此有tBC＝t.
答案：t