2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第2章第7节　对数与对数函数

第七节　对数与对数函数

[最新考纲]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

1．对数的概念

如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：

①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．

(2)换底公式：

logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．

(3)对数的运算性质：

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga(M·N)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

3．对数函数的定义、图象与性质

4.反函数

指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1．换底公式的两个重要结论

(1)loga b＝；(2)logambn＝loga b.

其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0.

2．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数． (　　)

(2)log2x2＝2log2x.  (　　)

(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)

(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．              (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、教材改编

1．(log29)·(log34)＝(　　)

A.　　　　B.　　　　C．2　　　　D．4

D　[(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故选D.]

A．a＞b＞c   B．a＞c＞b

C．c＞b＞a   D．c＞a＞b

D　[因为0＜a＜1，b＜0，c＝log＝log2 3＞1.所以c＞a＞b.故选D.]

3．函数y＝的定义域是________．

　[由 (2x－1)≥0，,得0＜2x－1≤1.,∴＜x≤1.,∴函数y＝的定义域是.]

4.函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．

(3,1)　[当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.,所以函数的图象恒过点(3,1)．]

考点1　对数式的化简与求值

　对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

　1.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)

A.　　　　　　　 B．10

C.20   D．100

A　[由已知，得a＝log2m，b＝log5m，,则＋＝＋,＝logm2＋logm5＝logm10＝2.,解得m＝.]

2.计算：÷100＝________.

－20　[原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.]

3．计算：＝________.

1　[原式＝

＝

＝＝＝＝1.]

　对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．

考点2　对数函数的图象及应用

　对数函数图象的识别及应用方法

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

　(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga (a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D

(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)

A．0，   B.，1

C．(1，)   D．(，2)

(1)D　(2)B　[(1)对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图象恒过定点，0，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.

(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在的图象，可知f＜g，即2＜loga，

则a＞，

所以a的取值范围为.]

[母题探究]

1．(变条件)若本例(2)变为：若不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．

[解]　由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a＞1时，显然不成立；

当0＜a＜1时，如图所示．

要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有≤loga，解得a≥，所以≤a＜1.

即实数a的取值范围是.

2．(变条件)若本例(2)变为：当0＜x≤时，＜logax，求实数a的取值范围．

[解]　若＜logax在x∈成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，

由图象知＜loga，

所以

解得＜a＜1.

即实数a的取值范围是.

1.(2019·合肥模拟)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为(　　),

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

A　[令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，,所以函数f(x)为偶函数，排除选项C，D.,当x＝时，f＝ln ＜0，

排除选项B，故选A.]

2.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A．a＞1，c＞1

B．a＞1,0＜c＜1

C．0＜a＜1，c＞1

D．0＜a＜1,0＜c＜1

D　[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜1,0＜c＜1.]

3．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)

A．x1x2＜0   B．x1x2＝0

C．x1x2＞1   D．0＜x1x2＜1

D　[作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．

显然x1＜0，x2＜0.

不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，

所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，

此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，

由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.]

考点3　对数函数的性质及应用

　解与对数函数有关的函数性质问题的3个关注点

(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．

(2)底数与1的大小关系．

(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

　比较大小

(1)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＜c＜b   B．a＜b＜c

C．b＜c＜a   D．c＜a＜b

(2)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＞b＞c   B．b＞a＞c

C．c＞b＞a   D．c＞a＞b

(1)A　(2)D　[(1)因为a＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故选A.

(2)因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b，故选D.]

　对数值大小比较的主要方法

(1)化同底数后利用函数的单调性．

(2)化同真数后利用图象比较．

(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．

　解简单对数不等式

(1)若loga＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．

(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________．

(1)∪(1，＋∞)　(2)　[(1)当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；

当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.

∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．

(2)由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，

又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，

同时2a＞1，所以a＞.综上，a∈.]

　对于形如logaf(x)＞b的不等式，一般转化为logaf(x)＞logaab，再根据底数的范围转化为f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而对于形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．

　和对数函数有关的复合函数

　解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

　已知函数f(x)＝loga(3－ax)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

[解](1)因为a＞0且a≠1，设t(x)＝3－ax，

则t(x)＝3－ax为减函数，

x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，

当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax＞0恒成立．

所以3－2a＞0.所以a＜.

又a＞0且a≠1，所以a∈(0,1)∪.

(2)t(x)＝3－ax，因为a＞0，

所以函数t(x)为减函数．

因为f(x)在区间[1,2]上为减函数，

所以y＝logat为增函数，

所以a＞1，当x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，

所以即

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．

　1.已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为(　　)

A．(－∞，4]   B．[4，＋∞)

C．[－4,4]   D．(－4,4]

D　[令g(x)＝x2－ax＋3a，

因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，

所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，所以a≤2且g(2)＞0，

所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4.故选D.]

2．函数y＝logax(a＞0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.

2或　[分两种情况讨论：①当a＞1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0＜a＜1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝.

所以a＝2或.]

3．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．

(－1,0)∪(1，＋∞)　[由题意得

或

解得a＞1或－1＜a＜0.]