2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第2章第10节　函数模型及其应用

第十节　函数模型及其应用［最新考纲］　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.1.常见的几种函数模型（1）一次函数模型：y＝kx＋b（k≠0）.（2）反比例函数模型：y＝＋b（k，b为常数且k≠0）.（3）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）.（4）指数函数模型：y＝a·bx＋c（a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0）.（5）对数函数模型：y＝mlogax＋n（m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0）.（6）幂函数模型：y＝a·xn＋b（a≠0）.2.三种函数模型之间增长速度的比较　函数性质　　y＝ax（a＞1）y＝logax（a＞1）y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax3.解函数应用问题的步骤（四步八字）（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题.形如f（x）＝x＋（a＞0）的函数模型称为“对勾”函数模型：（1）该函数在（－∞，－］和［，＋∞）内单调递增，在［－，0）和（0，］上单调递减.（2）当x＞0时，x＝时取最小值2，当x＜0时，x＝－时取最大值－2.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）函数y＝2x与函数y＝x2的图象有且只有两个公共点.  （　　）（2）幂函数增长比直线增长更快. （　　）（3）不存在x0，使ax0＜x＜logax0. （　　）（4）f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，恒有h（x）＜f（x）＜g（x）.              （　　）［答案］　（1）×　（2）×　（3）×　（4）√二、教材改编1.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（　　）（注：结余＝收入－支出）A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元D　［由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60（万元），故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×（40＋60＋30＋30＋50＋60）＝45（万元），故D错误.］2.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是（　　）A.y＝2x　　　　　　 B.y＝x2－1C.y＝2x－2   D.y＝log2 xD　［根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.］3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2＋2x＋20（万元）.一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为　　　　万件.18　［利润L（x）＝20x－C（x）＝－（x－18）2＋142，当x＝18时，L（x）有最大值.］4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为　　　　.3　［设隔墙的长度为x（0＜x＜6），矩形面积为y，则y＝x×＝2x（6－x）＝－2（x－3）2＋18，∴当x＝3时，y最大.］考点1　用函数图象刻画变化过程　判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的2种方法（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.（2）验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.　1.（2019·遵义模拟）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m（0＜a＜12）.不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（　　）A　　　　　B　　　　　C　 　　　DB　［设AD的长为x m，则CD的长为（16－x）m，则矩形ABCD的面积为x（16－x）m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a（16－a）.画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选B.］2.有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是（　　）A　　　　B　　 　C　　 　DB　［由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细.再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，选B.］3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（　　）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D　［根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.］　准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键.考点2　应用所给函数模型解决实际问题　求解所给函数模型解决实际问题的3个关注点（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.（3）利用该模型求解实际问题.　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）＝x2＋x（万元）.在年产量不小于8万件时，W（x）＝6x＋－38（万元）.每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？［解］　（1）因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0＜x＜8时，L（x）＝5x－－3＝－x2＋4x－3；当x≥8时，L（x）＝5x－－3＝35－.所以L（x）＝（2）当0＜x＜8时，L（x）＝－（x－6）2＋9.此时，当x＝6时，L（x）取得最大值L（6）＝9万元，当x≥8时，L（x）＝35－≤35－2＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L（x）取得最大值15万元.因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.　解决实际问题时，应注意自变量的取值范围，如本例中x∈（0，＋∞）.　一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过　　　　min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.16　［当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－b t＝a，e－b t＝＝（e－8 b）3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.］考点3　构建函数模型解决实际问题　构建函数模型解决实际问题的步骤　构造二次函数、分段函数模型　国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元.（1）写出每张飞机票的价格关于人数的函数；（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？［解］　（1）设每团人数为x，由题意得0＜x≤75（x∈N*），每张飞机票价格为y元，则y＝即y＝（2）设旅行社获利S元，则S＝即S＝因为S＝900x－15 000在区间（0,30］上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12 000.又S＝－10（x－60）2＋21 000，x∈（30,75］，所以当x＝60时，S取得最大值21 000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润.　解题过程——谨防2种失误（1）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.（2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小得解.　构造y＝x＋（a＞0）模型　某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.［解］　设该养殖场x（x∈N*）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6（元），所以x天饲料的保管费与其他费用共是6（x－1）＋6（x－2）＋…＋6＝（3x2－3x）（元）.从而有y＝（3x2－3x＋300）＋200×1.8＝＋3x＋357≥2＋357＝417，当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值.故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.　利用模型f（x）＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.　构建指数函数、对数函数模型　（1）世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017）（　　）A.1.5%　　　　　　　　 B.1.6%C.1.7%   D.1.8%（2）十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右.如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为（提示：1.0653≈1.208）（　　）A.93.8万亿元   B.99.9万亿元C.97万亿元   D.106.39万亿元（1）C　（2）B　［（1）设每年人口平均增长率为x，则（1＋x）40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg（1＋x）＝lg 2，所以lg（1＋x）＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故选C.（2）由题意可知，2020年我国国内年生产总值约为：82.7×（1＋6.5%）3≈99.9（万亿元）.故选B.］　（1）与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型（底数大于1）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.（2）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.　1.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤　　　　次才能达到市场要求.（已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）8　［设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%≤0.1%，即≤，所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.］2.某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）.（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？［解］　（1）当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝［50－3（x－6）］x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.∴y＝（2）对于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈Z），显然当x＝6时，ymax＝185；对于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋（6＜x≤20，x∈Z），当x＝11时，ymax＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.