2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第2章第6节　指数与指数函数

第六节　指数与指数函数

[最新考纲]　1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．

1．根式

(1)n次方根的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示

xn＝a⇒

(2)根式的性质

①()n＝a(n∈N*，n＞1)．

②＝

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

1．指数函数图象的画法

画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.

2．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．

3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．

 [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)

A　　　　B　　　　 C　　　　　D

A　[f(x)＝21－x＝，又f(0)＝2，f(1)＝1，故排除B，C，D，故选A.]

2．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.

　[由题意知＝a2，所以a＝，

所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.]

3．化简(x＜0，y＜0)＝________.

[答案]　－2x2y

4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．

c＜b＜a　[∵y＝是减函数，

∴＞＞，

则a＞b＞1，

又c＝＜＝1，

∴c＜b＜a.]

考点1　指数幂的运算

　指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．

考点2　指数函数的图象及应用

(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．

(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a＞1，b＜0

B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0

(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．

(1)D　(2)(0,1)　[(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.

(2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．]

[母题探究]

1．(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．

(0，＋∞)　[作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞)．

]

2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．

(－∞，－1]　[作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．

由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．]

　应用指数函数图象的技巧

(1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.

(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

　1.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

A　[f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0，符合条件的图象只有A.]

2．函数y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．

(0,1)　[因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得解得故ab∈(0,1)．]

3．已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________(填序号)．

③④　[作出y＝2 019x及y＝2 020x的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2 019a＝2 020b，故③④不可能成立．]

考点3　指数函数的性质及应用

　指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．

　比较指数式的大小

(1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　)

A．a＞b＞c　　　　　 B．a＞c＞b

C．c＞a＞b   D．b＞c＞a

(2)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　)

A．M＝N   B．M≤N

C．M＜N   D．M＞N

(1)A　(2)D　[(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.

(2)因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝0.1＜1，所以M＞N.故选D.]

　指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是(0,1)还是(1，＋∞)，若不能化为同底，则可化为同指数，或利用中间变量比较，如本例(1)．

　解简单的指数方程或不等式

(1)已知函数f(x)＝a＋的图象过点，若－≤f(x)≤0，则实数x的取值范围是________．

(2)方程4x＋|1－2x|＝11的解为________．

(1)　(2)x＝log23　[(1)∵f(x)＝a＋的图象过点，

∴a＋＝－，即a＝－.

∴f(x)＝－＋.

∵－≤f(x)≤0，

∴－≤－≤0，

∴≤≤，∴2≤4x＋1≤3，

即1≤4x≤2，

∴0≤x≤.

(2)当x≥0时，原方程化为4x＋2x－12＝0，

即(2x)2＋2x－12＝0.

∴(2x－3)(2x＋4)＝0，

∴2x＝3，即x＝log23.

当x＜0时，原方程化为4x－2x－10＝0.

令t＝2x，则t2－t－10＝0(0＜t＜1)．

由求根公式得t＝均不符合题意，故x＜0时，方程无解．]

(1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x)．(3)有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题．

　与指数函数有关的复合函数的单调性

(1)函数f(x)＝的单调减区间为________．

(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．

(1)(－∞，1]　(2)[0，＋∞)　[(1)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，

所以f(x)的减区间为(－∞，1]．

(2)设t＝2x(t＞0)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．]

[逆向问题]　已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．

(－∞，4]　[令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．]

　求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．

　指数函数性质的综合应用

(1)函数f(x)＝a＋(a，b∈R)是奇函数，且图象经过点，则函数f(x)的值域为(　　)

A．(－1,1)   B．(－2,2)

C．(－3,3)   D．(－4,4)

(2)若不等式1＋2x＋4x·a＞0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________．

(1)A　(2)　[(1)函数f(x)为奇函数，定义域是R，则f(0)＝a＋＝0①，函数图象过点，则f(ln 3)＝a＋＝②.结合①②可得a＝1，b＝－2，则f(x)＝1－.因为ex＞0，所以ex＋1＞1，所以0＜＜2，所以－1＜1－＜1，即函数f(x)的值域为(－1,1)．

(2)从已知不等式中分离出实数a，得a＞－.因为函数y＝和y＝x在R上都是减函数，所以当x∈(－∞，1]时，≥，≥，所以＋≥＋＝，从而得－≤－.故实数a的取值范围为a＞－.]

　指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化．

　1.函数y＝的值域是(　　)

A．(－∞，4)   B．(0，＋∞)

C．(0,4]   D．[4，＋∞)

C　[设t＝x2＋2x－1，则y＝.

因为0＜＜1，所以y＝为关于t的减函数．

因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0＜y＝≤＝4，故所求函数的值域为(0,4]．]

2．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．

　[当a＜1时，41－a＝21，所以a＝；当a＞1时，代入可知不成立，所以a的值为.]

3．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________．

(－3,1)　[当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为－7＜1，即＜8，即＜，

∴a＞－3.又a＜0，∴－3＜a＜0.

当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1.

∴0≤a＜1，综上，a的取值范围为(－3,1)．]