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    2021版新高考数学(理科)一轮复习教师用书:第7章第5节 直接证明与间接证明、数学归纳法
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    2021版新高考数学(理科)一轮复习教师用书:第7章第5节 直接证明与间接证明、数学归纳法

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    第五节 直接证明与间接证明、数学归纳法
    [最新考纲] 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.


    1.直接证明
    (1)综合法
    定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.
    (2)分析法
    定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法.
    2.间接证明——反证法
    一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
    3.数学归纳法
    一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
    (1)归纳奠基:证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;
    (2)归纳递推:假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
    只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.

    一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(  )
    (2)综合法是直接证明,分析法是间接证明.(  )
    (3)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(  )
    (4)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
    二、教材改编
    1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n等于(  )
    A.1    B.2
    C.3 D.4
    C [凸n边形边数最小时是三角形,故第一步检验n=3.]
    2.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是(  )
    A.假设a,b,c都是偶数
    B.假设a,b,c都不是偶数
    C.假设a,b,c至多有一个偶数
    D.假设a,b,c至多有两个偶数
    B [“至少有一个”的否定为“都不是”,故B正确.]
    3.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是(  )
    A.P>Q B.P=Q
    C.P A [假设P>Q,只需P2>Q2,即2a+13+2>2a+13+2,只需a2+13a+42>a2+13a+40.因为42>40成立,所以P>Q成立.故选A.]
    4.已知数列{an}满足an+1=a-nan+1,n∈N+,且a1=2,则a2=________,a3=________,a4=________,猜想an=________.
    3 4 5 n+1 [易得a2=3,a3=4,a4=5,故猜想an=n+1.]


    考点1 综合法的应用
     掌握综合法证明问题的思路
    (1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性.
    (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.
     设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.
    证明:(1)ab+bc+ac≤;
    (2)++≥1.
    [证明] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
    得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
    由题设得(a+b+c)2=1,
    即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
    所以3(ab+bc+ca)≤1,
    即ab+bc+ca≤.
    (2)因为a,b,c均为正数,
    +b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
    故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
    即++≥a+b+c,
    所以++≥1.
    [母题探究] 本例的条件不变,证明a2+b2+c2≥.
    [证明] 因为a+b+c=1,
    所以1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
    因为2ab≤a2+b2,2bc≤b2+c2,2ac≤a2+c2,
    所以2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2),
    所以1≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2),
    即a2+b2+c2≥.
     (1)不等式的证明常借助基本不等式,注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”;(2) 应用重要不等式a2+b2≥2ab放缩时要注意待证不等式的方向性.
     在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.
    (1)求证:a,b,c成等差数列;
    (2)若C=,求证:5a=3b.
    [证明] (1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,
    因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,
    由正弦定理,得a+c=2b,即a,b,c成等差数列.
    (2)由C=,c=2b-a及余弦定理得
    (2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,
    即5a=3b.
    考点2 分析法的应用
     分析法证明问题的思路及适用范围
    利用分析法证明问题,先从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件;当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.
     已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.
    求证:+=.
    [证明] 要证+=,
    即证+=3,也就是+=1,
    只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
    需证c2+a2=ac+b2,
    又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°,
    由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60°,
    即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.
    于是原等式成立.
     (1)用分析法证明时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等,逐步分析,直到一个明显成立的结论.
    (2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,如本例中,通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c2+a2=ac+b2”,然后通过综合法证明这个中间结论,从而使原命题得证.
     若a,b∈(1,+∞),证明<.
    [证明] 要证<,
    只需证()2<()2,
    只需证a+b-1-ab<0,
    即证(a-1)(1-b)<0.
    因为a>1,b>1,所以a-1>0,1-b<0,
    即(a-1)(1-b)<0成立,
    所以原不等式成立.
    考点3 反证法的应用
     用反证法证明问题的步骤
    (1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面成立.(否定结论)
    (2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾,矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.(推导矛盾)
    (3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)
     设a>0,b>0,且a+b=+.
    证明:(1)a+b≥2;
    (2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
    [证明] 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.
    (1)由基本不等式及ab=1,
    有a+b≥2=2,即a+b≥2.
    (2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0,得0 同理,0 故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
     (1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证.
    (2)在使用反证法证明数学命题时,反设必须恰当,如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.
     等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.
    (1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn;
    (2)设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
    [解] (1)设等差数列{an}的公差为d.
    由已知得
    所以d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+)(n∈N*).
    (2)证明:由(1)得bn==n+,
    假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r∈N*,且互不相等)成等比数列,则b=bpbr.
    即(q+)2=(p+)(r+),
    所以(q2-pr)+(2q-p-r)=0,
    因为p,q,r∈N*,所以
    所以=pr,(p-r)2=0,
    所以p=r,与p≠r矛盾,
    所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.
    考点4 数学归纳法的应用
     (1)应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
    ①当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.
    ②用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.
    (2)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理论证结论的正确性.
     (2019·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3.数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.
    (1)求数列{an},{bn}的通项公式;
    (2)记cn=,n∈N*,证明:c1+c2+…+cn<2,n∈N*.
    [解] (1)设数列{an}的公差为d,
    由题意得解得a1=0,d=2,
    ∴an=2n-2,n∈N*.
    ∴Sn=n2-n,n∈N*.
    ∵数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列,
    ∴(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn),
    解得bn=(S-SnSn+2),
    即bn=n2+n,n∈N*.
    (2)证明:cn===,n∈N*,
    用数学归纳法证明:
    ①当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
    ②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,
    即c1+c2+…+ck<2,
    则当n=k+1时,
    c1+c2+…+ck+ck+1<2+<2+<2+=2+2(-)=2,
    即n=k+1时,不等式也成立.
    由①②得c1+c2+…+cn<2,n∈N*.
     用数学归纳法证明与n有关的不等式,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.
    [教师备选例题]
    1.用数学归纳法证明:+++…+=(n∈N*).
    [证明] ①当n=1时,
    左边==,
    右边==,
    左边=右边,所以等式成立.
    ②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即有
    +++…+=,
    则当n=k+1时,+++…++
    =+

    ==
    =.
    所以当n=k+1时,等式也成立.
    由①②可知对于一切n∈N*等式都成立.
    2.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
    (1)求r的值;
    (2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),证明:对任意的n∈N*,不等式··…·>成立.
    [解] (1)由题意得,Sn=bn+r,
    当n≥2时,Sn-1=bn-1+r.
    所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).
    由于b>0,且b≠1,
    所以n≥2时,数列{an}是以b为公比的等比数列.
    又a1=S1=b+r,a2=b(b-1),
    所以=b,即=b,解得r=-1.
    (2)证明:由(1)及b=2知an=2n-1.
    因此bn=2n(n∈N*),
    所证不等式为··…·>.
    ①当n=1时,左式=,右式=,
    左式>右式,所以结论成立.
    ②假设n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,
    即··…·>,
    则当n=k+1时,
    ··…··>·=,
    要证当n=k+1时结论成立,
    只需证≥,
    即证≥,
    由基本不等式得

    ≥成立,
    故≥成立,所以当n=k+1时,结论成立.
    由①②可知,n∈N*时,
    不等式··…·>成立.
     已知f(n)=1++++…+,g(n)=-,n∈N*.
    (1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;
    (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
    [解] (1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,
    所以f(1)=g(1);
    当n=2时,f(2)=,g(2)=,所以f(2)<g(2);
    当n=3时,f(3)=,g(3)=,
    所以f(3)<g(3).
    (2)由(1)猜想,f(n)≤g(n),用数学归纳法证明.
    ①当n=1,2,3时,不等式显然成立.
    ②假设当n=k(k>3,k∈N*)时不等式成立,
    即1++++…+<-,
    则当n=k+1时,
    f(k+1)=f(k)+<-+.
    因为-
    =-
    =<0,
    所以f(k+1)<-=g(k+1).
    由①②可知,对一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立.


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