2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第12章第2节　参数方程

第二节　参数方程
[最新考纲]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．


1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)

根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.
(1)弦长l＝|t1－t2|；
(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)
(3)方程表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
二、教材改编
1．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)
A．在直线y＝2x上　 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上
B　[由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，
所以对称中心为(－1，2)，在直线y＝－2x上．]
2．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为(　　)
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
D　[将直线方程代入圆的方程，得(1＋t)2＋(－3＋t)2＝16，整理，得t2－8t＋12＝0，则t1＋t2＝8，＝4，故其中点坐标满足解得]
3．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．
y＝2－2x2(－1≤x≤1)　[由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]
4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则a＝________．
3　[直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过(3，0)，则3－a＝0，∴a＝3.]


考点1　参数方程与普通方程的互化
　将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．
　1.将下列参数方程化为普通方程．
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)．
(3)(t为参数)
[解]　(1)∵＋＝1，∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.
又x＝，∴x≠0.
当t≥1时，0＜x≤1；当t≤－1时，－1≤x＜0，
∴所求普通方程为x2＋y2＝1，
其中或
(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.
∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，
∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
(3)因为x＝，
y＝＝＝4－3×＝4－3x.
又x＝＝＝2－∈[0，2)，
所以所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0，2))．
2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．
[解]　圆的半径为，
记圆心为C，连接CP，
则∠PCx＝2θ，
故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，
yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为
(θ为参数)．
　将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
考点2　参数方程的应用
　1.应用直线参数方程的注意点
在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．
2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．
　(1)(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.
①求C和l的直角坐标方程；
②求C上的点到l距离的最小值．
(2)(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
①求α的取值范围；
②求AB中点P的轨迹的参数方程．
[解]　(1)①因为－1