2021高三统考北师大版数学一轮学案：第2章第7讲　函数的图象


第7讲　函数的图象
基础知识整合

1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ωx)；
y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x).
(4)翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.

1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．
3．函数图象的对称性
(1)函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x)⇔y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)函数图象自身的中心对称
①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；
②函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；
③函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
(3)两个函数图象之间的对称关系
①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
②函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
③函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
④函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．

1．(2020·山东师大附中月考)函数y＝log2|x|的图象大致是(　　)

答案　C
解析　函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选C．
2．函数y＝1－的图象是(　　)

答案　B
解析　将函数y＝－的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，即得到y＝1－的图象，故选B．
3．下列函数f(x)图象中，满足f>f(3)>f(2)的只可能是(　　)

答案　D
解析　因为f>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，不选A，B．又C中，ff(0)，即f 4．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是(　　)

A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
答案　C
解析　由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C正确．
5．(2019·梅州模拟)函数f(x)＝的大致图象是(　　)

答案　B
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x→0时，f(x)<0，排除C，D；当x→＋∞时，f(x)>0，排除A，故选B．
6．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________.
答案　(0，＋∞)
解析　在同一直角坐标系中，画出函数y＝|x|和函数y＝－x＋a的图象，即可知当a>0时，两函数图象有且只有一个交点，即|x|＝a－x只有一个解．
核心考向突破
考向一　画函数图象

例1　作出下列函数的图象：
(1)y＝|x－2|·(x＋2)；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
解　(1)函数式可化为y＝
其图象如图(1)实线所示．
　　
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(2)所示．
(3)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(3)所示．
　
(4)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图(4)所示．

函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．
(4)画函数的图象一定要注意定义域．
(5)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

[即时训练]　1.作出下列各函数的图象：
(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x2－4x＋3|；
(3)y＝|x|；(4)y＝|log2x－1|.
解　(1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝可见其图象是由两条射线组成，如图(1)所示．

(2)函数式可化为y＝
图象如图(2)所示．
(3)作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图(3)实线部分．

(4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图(4)所示．

精准设计考向，多角度探究突破
考向二　识图与辨图
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度1　　知式选图

例2　(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)

答案　D
解析　∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A．又f＝＝>1，f(π)＝>0，排除B，C．故选D．
角度2　　知图选式

例3　(2019·四川百校模拟冲刺卷)若函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案　C
解析　当x→0时，f(x)→±∞，而A中的f(x)→0，排除A；当x＜0时，f(x)＜0，而B中x＜0时，f(x)＝>0，D中，f(x)＝>0，排除B，D，故选C．
角度　　知图选图

例4　已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)


答案　B
解析　y＝f(x)y＝f(－x)
y＝f(2－x)
y＝－f(2－x)．选B．

函数图象的识辨
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

[即时训练]　2.(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为(　　)

答案　B
解析　∵y＝f(x)＝，x∈[－6,6]，
∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，排除选项C．
当x＝4时，y＝＝∈(7,8)，排除选项A，D．故选B．
3．下列四个函数中，图象如图所示的只能是(　　)

A．y＝x＋lg x B．y＝x－lg x
C．y＝－x＋lg x D．y＝－x－lg x
答案　B
解析　(特殊值法)当x＝1时，由图象知y>0，而C，D中y<0，故排除C，D；又当x＝时，由图象知y>0，而A中y＝＋lg ＝－<0，排除A．故选B．
4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则g(x)＝ax＋b的图象是(　　)


答案　A
解析　由图可知b<－1,0 考向三　函数图象的应用

例5　(1)(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，∴当x∈(0,1]时，f(x)∈.
∵f(x＋1)＝2f(x)，
∴当x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)x，f(x)∈；
当x∈(－2，－1]时，x＋1∈(－1,0]，f(x)＝f(x＋1)＝f(x＋2)＝(x＋2)(x＋1)，f(x)∈；
…；
当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)，f(x)∈；
当x∈(2,3]时，x－1∈(1,2]，f(x)＝2f(x－1)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，f(x)∈[－1,0]；
….
f(x)的图象如图所示．

若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，
则有2 设f(m)＝－，则4(m－2)(m－3)＝－，
∴m＝或m＝.结合图象可知，当m≤时，
符合题意．故选B．
(2)已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为________.
答案　[－8，－1]
解析　作出函数f(x)的图象，当x≤－1时，函数f(x)＝log2单调递减，且最小值为f(－1)＝－1.
令log2＝2，得x＝－8，当x>－1时，函数f(x)＝－x2＋x＋在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为2，且f(4)＝<2.
综上可知，所求实数m的取值范围为[－8，－1]．


(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．
(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)
[即时训练]　5.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)

A．{x|－1 B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1 D．{x|－1 答案　C
解析　令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图．

由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1 6．(2019·昆明检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)| A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
答案　C
解析　画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|
[特殊点法]
1．(2019·北师大附中模拟)函数y＝ecosx(－π≤x≤π)的大致图象为(　　)

答案　C
解析　当x＝0时，函数y取得最大值ecos0＝e；当x＝π时，则y＝ecosπ＝.可排除A，B，D，选C．
答题启示
使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．
对点训练
函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为(　　)

答案　D
解析　令f(x)＝xcosx＋sinx，则有f(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∵奇函数的图象关于原点对称，而B中的图象不关于原点对称，∴排除B；当x＝时，y＝1，而由C中图象知当x＝时，y≠1，∴排除C；当x＝π时，y＝－π，而A中，当x＝π时，y>0，∴排除A．故选D．
[质检验法]
2．(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

答案　D
解析　当0 于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，
函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减．
因此，选项D中的两个图象符合．
当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增．
显然A，B，C三个选项都不符合．故选D．
答题启示
利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域，函数整体的奇偶性，函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用．
对点训练
(2019·沧州七校联考)函数f(x)＝ln 的图象是(　　)

答案　B
解析　因为f(x)＝ln ，所以x－＝>0，解得－11，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A，D．因为函数u＝x－在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，故选B．
[图象变换法]
3．已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是(　　)

答案　B
解析　函数f(x－1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f(x)的图象；因为函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称，排除A，C，D，故选B．
答题启示
有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题．
对点训练
已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　)

答案　D
解析　解法一：先画出函数f(x)＝的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象，故选D．
解法二：由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝故该函数过点(0,3)，排除A；过点(1,1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C．选D．