2021高三统考北师大版数学一轮学案：第9章第5讲　椭圆


第5讲　椭圆
基础知识整合

1．椭圆的概念
在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P表示椭圆；
(2)若a＝c，则集合P表示线段；
(3)若ab>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2

1．椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.

(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.
2．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
3．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.

1．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．9
答案　B
解析　由4＝(m>0 )⇒m＝3，故选B．
2．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　)
A． B．
C．2 D．4
答案　A
解析　将原方程变形为x2＋＝1.由题意知a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1.∴＝2，∴m＝.
3．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
答案　B
解析　因为椭圆的离心率e＝＝，所以a2＝4c2.
又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B．
4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　D
解析　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.
5．(2019·西安模拟)已知点P(x1，y1)是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是(　　)
A． B．12
C．16(2＋) D．16(2－)
答案　B
解析　∵椭圆的方程为＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝×2×3×4＝12，故选B．
6．椭圆3x2＋ky2＝3的一个焦点是(0，)，则k＝________.
答案　1
解析　方程3x2＋ky2＝3可化为x2＋＝1.a2＝>1＝b2，c2＝a2－b2＝－1＝2，解得k＝1.
核心考向突破
考向一　椭圆定义及其应用
例1　(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案　B
解析　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PA|＝|PM|＋|PN|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
(2)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周长为16.则|AF2|＝________.
答案　5
解析　由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3.∵△ABF2的周长为16，∴4a＝16，∴a＝4.则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，∴|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5.

(1)椭圆定义的应用范围
①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
②解决与焦点有关的距离问题．
(2)焦点三角形的应用
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|，|PF2|；通过整体代入可求其面积等．

[即时训练]　1.(2019·河北保定一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
答案　＋＝1
解析　设动圆的半径为r，圆心P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r，所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，即点P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，即点P的轨迹方程为＋＝1.
2．已知椭圆C：＋＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝________.
答案　12
解析　取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于椭圆C的焦点F1的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
考向二　椭圆的标准方程
例2　(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　B
解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.
又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，
∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，＝2，∴B.将B点坐标代入椭圆方程＋＝1，得＋＝1，

∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.故选B．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________.
答案　＋＝1
解析　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，
则解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.

求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a,2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程．
(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解题步骤如下：
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[即时训练]　3.(2019·青岛模拟)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　C
解析　如图，|AF2|＝|AB|＝，|F1F2|＝2，

由椭圆定义，得|AF1|＝2a－.　①
在Rt△AF1F2中，
|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝2＋22.　②
由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆C的方程为＋＝1，应选C．
4．已知A，B是圆：2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．
答案　x2＋y2＝1
解析　如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝，b2＝.所以动点P的轨迹方程为x2＋y2＝1.

考向三　椭圆的几何性质
例3　(1)(2019·云南保山期末)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　设线段PF1的中点为M，另一个焦点为F2，由题意知，|OM|＝b，又OM是△F2PF1的中位线，∴|OM|＝|PF2|＝b，|PF2|＝2b，由椭圆的定义知|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2b.

又|MF1|＝|PF1|＝(2a－2b)＝a－b，又|OF1|＝c，在直角三角形OMF1中，由勾股定理得(a－b)2＋b2＝c2，又a2－b2＝c2，可得2a＝3b，故有4a2＝9b2＝9(a2－c2)，由此可求得离心率e＝＝，故选D．
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac0，y2>0，＋y＝1，所以S△OCD＝··＝＝＝＋≥2＝，即S△OCD≥，当且仅当＝y＝，即点B的坐标为时，△OCD面积取得最小值，故选B．
8．(2019·广西联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>1)的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P且垂直于AB的直线与x轴交于点D，求k的值．
解　(1)由题中条件，可得过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 .
设椭圆的右焦点的坐标为(c,0)，
依题意知
又因为b>1，解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意，过椭圆C的右焦点的直线l的方程为
y＝k(x－1)，将其代入＋＝1，
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
因为P为线段AB的中点，
所以点P的坐标为.
又因为直线PD的斜率为－，
所以直线PD的方程为
y－＝－.
令y＝0，得x＝，
所以点D的坐标为，
则＝，解得k＝±1.
9．(2019·云南昆明模拟)已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C(0,1)，离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为，求直线l的方程．
解　(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由已知，直线l过左焦点F(－1,0)．
当直线l与x轴垂直时，A，B，
此时|AB|＝，则S△OAB＝××1＝，不满足条件．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为
y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|，
由已知S△OAB＝，得|y1－y2|＝.
因为y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝k· ＋2k＝，
y1y2＝k(x1＋1)·k(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)
＝，
所以|y1－y2|＝
＝＝，
所以k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.

1．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．2
答案　C
解析　解法一：设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，所以＋＝(－2x0，－2y0)，所以|＋|＝＝2＝2.因为点P在椭圆上，所以0≤y≤1，所以当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C．
解法二：由＋＝＋＋＋＝2，所以|＋|＝2|P|＝2，因为点P在椭圆上，所以x＋2y＝2，且0≤y≤1，则2＝2＝2，当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C．
2．已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．

解　由题意知a＝3，b＝，c＝2，F(－2,0)．
设椭圆右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF′|＋6.当P，A，F′三点共线时，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|＝，或者最小值－|AF′|＝－.
所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.
3．在椭圆＋＝1上求一点，使它到直线2x－3y＋15＝0的距离最短．
解　设所求点坐标为A(3cosθ，2sinθ)，θ∈R，
由点到直线的距离公式得
d＝
＝，
当θ＝2kπ＋，k∈Z时，d取到最小值，
此时A点坐标为(－3,2)．
答题启示
椭圆中距离的最值问题一般有三种解法：
(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；
(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；
(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．
对点训练
1．(2020·青海西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
答案　A
解析　∵椭圆的方程为＋＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，

∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5，即|PA|＋|PB|的最大值为5.
2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)
A．5 B．＋
C．7＋ D．6
答案　D
解析　解法一：设椭圆上任意一点为Q(x，y)，且－≤x≤，－1≤y≤1，则圆心(0，6)到点Q的距离
d＝＝
＝，
当y＝－时，dmax＝5，
P，Q两点间的最大距离d′＝dmax＋＝6.
解法二：易知圆心坐标为M(0,6)，|PQ|的最大值为|MQ|max＋，设Q(cosθ，sinθ)，
则|MQ|＝
＝
＝，
当sinθ＝－时，|MQ|max＝5，
所以|PQ|max＝5＋＝6.故选D．
3．如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．

答案　4
解析　设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，
因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.
所以椭圆方程为＋＝1.
所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因为F(－1,0)，A(2,0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1
＝(x0－2)2.
即当x0＝－2时，·取得最大值4.