2021届高考数学（文）一轮复习学案：平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线方程

 第9章 平面解析几何第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程[最新考纲]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行时，它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为0°≤α＜180°.2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α，当α＝90°时，直线斜率不存在．(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用1．牢记倾斜角α与斜率k的关系(1)当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞.(2)当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．2．特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；(3)y轴的方程为x＝0；(4)x轴的方程为y＝0. 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． (　　)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (　　)(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示． (　　)(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．                            (　　)[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√二、教材改编1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)A．1 B．4　　　　C．1或3　　　　 D．1或4A　[由题意得＝1，解得m＝1.]2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0A　[由y－5＝－(x＋2)得3x＋4y－14＝0，故选A.]3．已知a，b，c是两两不等的实数，则经过点A(a，b)，B(a，c)的直线的倾斜角为________，直线AB的方程为________．　x＝a　[由题意知，直线AB垂直于x轴，因此直线AB的倾斜角为，直线AB的方程为x＝a.]4．在x轴，y轴上的截距分别是4，－3的直线方程为________．3x－4y－12＝0　[由题意知，直线方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0.]⊙考点1　直线的倾斜角和斜率　斜率取值范围的两种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图像法根据正切函数图像，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可　1.(2019·安庆模拟)直线x－(a2＋2)y＋1＝0的倾斜角不可能为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.D　[设直线x－(a2＋2)y＋1＝0的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ＝∈.又tan＝，故θ不可能为.]2．若直线l的斜率k∈[－1,1]，则直线l的倾斜角θ的范围是________．∪　[当－1≤k＜0时，≤θ＜π，当0≤k≤1时，0≤θ≤.因此θ的取值范围是∪.]3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________．(－∞，－]∪[1，＋∞)　[如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．]　直线的倾斜角和斜率的范围互求时，要充分利用y＝tan x的单调性．⊙考点2　直线方程　1．求解直线方程的两种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程待定系数法①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程2.谨防三种失误(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0. (1)若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________．(2)若直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________．(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________．(1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0　(2)x－y＋6＝0　(3)5x－2y－5＝0　[(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－，此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.(3)设C(x0，y0)，则M，N.因为点M在y轴上，所以＝0，所以x0＝－5.因为点N在x轴上，所以＝0，所以y0＝－3，即C(－5，－3)，所以M，N(1,0)，所以直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0.]　当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，此时横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解．　1.经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．2x－3y＝0或x＋y－5＝0　[设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为＋＝1，∵l过点(3,2)，∴＋＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.]2．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是的直线方程是________．x－y＋1＝0或x＋y－3＝0　[由题意知，倾斜角为或，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.]3．过点P(3,0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________．8x－y－24＝0　[设直线l与l1，l2的交点分别为A，B，设A(x1，y1)，则B(6－x1，－y1)．由题意得解得即A.直线l的方程为＝，即8x－y－24＝0.]⊙考点3　直线方程的综合应用　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．　过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．[解]　设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.(1)＋＝1≥2＝，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.　涉及与直线在x轴，y轴上的截距有关的问题，可设直线方程为截距式．[教师备选例题]如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米．10　[如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k＜0)，所以A，B(0,4－3k)，所以△ABO的面积S＝(4－3k)＝，因为k＜0，所以－9k－≥2＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号，此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的长度为10米．]　1.一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0　[设所求直线的方程为＋＝1.∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.  ①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴|a|·|b|＝1.  ②由①②可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解．故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．]2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.　[由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，当a＝时，四边形的面积最小，故实数a的值为.]