2021届高考数学（文）一轮复习学案：不等式、推理与证明第5节综合法与分析法、反证法

 第五节　综合法与分析法、反证法[最新考纲]　1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点． 1．综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．2．分析法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法．3．反证法(1)定义：在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．(2)反证法的证明步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．                            (　　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．   (　　)(3)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a≤b”． (　　)(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾． (　　)[答案](1)√　(2)×　(3)√　(4)×二、教材改编1．对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝(　　)A．2sin θ　　　 B．2cos θC．sin 2θ D．cos 2θD　[cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ.]2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是(　　)A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°B　[“至少有一个不大于60°”的否定是“没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”，故选B.]3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．由a的取值确定A　[由题意知P＞0，Q＞0，P2＝2a＋13＋2，Q2＝2a＋13＋2.∵＞，∴P2＞Q2，∴P＞Q，故选A.]4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．等边　[由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．] ⊙考点1　综合法的应用　利用综合法证明问题的思路　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.当且仅当“a＝b＝c”时等号成立；(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.[母题探究]1．若本例条件不变，证明a2＋b2＋c2≥.[证明]　因为a＋b＋c＝1，所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，因为2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ac≤a2＋c2，所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥.2．若本例条件“a＋b＋c＝1”换为abc＝1，其他条件不变，试证：＋＋≤a2＋b2＋c2.[证明]　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．所以＋＋≤a2＋b2＋c2.　解答本例第(2)问时，通过基本不等式去掉分母，然后把得到的不等式相加得到答案，这是常用的方法．[教师备选例题]已知函数f(x)＝－(a＞0，且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图像关于点对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．[证明](1)函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知y＝－，则－1－y＝－1＋＝－，f(1－x)＝－＝－＝－＝－，∴－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图像关于点对称．(2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.　已知a，b，c＞0，a＋b＋c＝1.求证：(1)＋＋≤；(2)＋＋≥.[证明](1)∵(＋＋)2＝(a＋b＋c)＋2＋2＋2≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，∴＋＋≤(当且仅当a＝b＝c时取等号)．(2)∵a＞0，∴3a＋1＞1，∴＋(3a＋1)≥2＝4，∴≥3－3a，同理得≥3－3b，≥3－3c，以上三式相加得4≥9－3(a＋b＋c)＝6，∴＋＋≥(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)．⊙考点2　分析法的应用　利用分析法证明问题的思路及格式(1)分析法的证明思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．(2)分析法的格式通常采用“要证(欲证)……”“只需证……”“即证……”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性． (1)若a，b∈(1，＋∞)，证明＜.[证明]　要证＜，只需证()2＜()2，只需证a＋b－1－ab＜0，即证(a－1)(1－b)＜0.因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，即(a－1)(1－b)＜0成立，所以原不等式成立．(2)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.[证明]　要证＋＝，即证＋＝3，也就是＋＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得，b2＝c2＋a2－2accos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．　解答本例T(2)时，先用分析法得到“需证c2＋a2＝ac＋b2”，再用综合法证明这个结论成立，这是常用的方法．[教师备选例题]已知a，b∈R，a＞b＞e(其中e是自然对数的底数)，用分析法证明：ba＞ab.[证明]　∵ba＞0，ab＞0，∴要证：ba＞ab，只要证：aln b＞bln a，只要证：＞(∵a＞b＞e)，取函数f(x)＝，则f′(x)＝，∴当x＞e时，f′(x)＜0，即函数f(x)在(e，＋∞)是减函数．∴当a＞b＞e时，有f(b)＞f(a)，即＞，得证．　已知a＞0，证明：－≥a＋－2.[证明]　要证－≥a＋－2，只需证≥－(2－)．因为a＞0，所以－(2－)＞0，所以只需证≥，即2(2－)≥8－4，只需证a＋≥2.因为a＞0，a＋≥2显然成立，所以要证的不等式成立．⊙考点3　反证法的应用　反证法证明问题的三步骤　证明否定性命题　设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．[解](1)设{an}的前n项和为Sn.则Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn＝a1(1－qn)，当q≠1时，Sn＝，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1，所以Sn＝(2)证明：假设数列{an＋1}是等比数列，则(a1＋1)(a3＋1)＝(a2＋1)2，即a1a3＋a1＋a3＋1＝a＋2a2＋1，因为{an}是等比数列，公比为q，所以a1a3＝a，a2＝a1q，a3＝a1q2，所以a1(1＋q2)＝2a1q.即q2－2q＋1＝0，(q－1)2＝0，q＝1，这与已知q≠1矛盾，所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列．　当结论是否定性命题时，无法用综合法求解，宜用反证法证明．[教师备选例题]设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？[解](1)证明：若{Sn}是等比数列，则S＝S1·S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，这与q≠0相矛盾，故数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾．综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．　证明“至多”“至少”命题　已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．[证明]　假设三个方程都没有两个相异实根．则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0，上述三个式子相加得：a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.所以a＝b＝c这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾．因此假设不成立，故三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．　“至多”“至少”命题情况较为复杂，宜用反证法证明．　1.(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙A　[假设甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人成绩由高到低为甲、乙、丙；假设乙预测正确，则丙也预测正确，不合题意；假设丙预测正确，则甲预测错误，于是三人成绩由高到低为丙、乙、甲，从而乙预测正确，不合题意，综上知三人成绩由高到低为甲、乙、丙．]2．设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．