2021届浙江省高考数学一轮学案：第三章第4节　函数的奇偶性与周期性


第4节　函数的奇偶性与周期性
考试要求　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

知 识 梳 理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[常用结论与易错提醒]
1.函数奇偶性的三个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
2.函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0).
3.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.(　　)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(　　)
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(　　)
解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A.－ B.
C. D.－
解析　依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝，则a＋b＝.
答案　B
3.(2019·北京东城区二模)下列函数中既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A.y＝x3 B.y＝cos x
C.y＝ex D.y＝|x|＋1
解析　y＝x3是奇函数，故A排除；y＝ex是非奇非偶函数，C排除；y＝cos x是偶函数，但在(0，＋∞)上有增也有减，B排除，只有D正确.
答案　D
4.若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，则f(2 020)＋f(2 019)＝(　　)
A.－2 020 B.0
C.1 D.2 020
解析　因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(－1)＝f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，且f(0)＝0，而f(2 020)＝f(2×1 010＋0)＝f(0)＝0，f(2 019)＝f(2×1 009＋1)＝f(1)＝0，故选B.
答案　B
5.若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1).
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(1)＝f(3).∴f(－1)＝3.
答案　3
6.设a>0且a≠1，函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，g(f(2))＝________.
解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，即a0＋1－2＝0，∴a＝2；当x>0时，－x0，
∴g(f(2))＝g＝2－2－＋1＝2－2－＝2－.
答案　2　2－

考点一　函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－20时，－x0且a≠1)，则函数f(x)的奇偶性(　　)
A.与a无关，且与b无关 B.与a有关，且与b有关
C.与a有关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关
(2)(2019·北京卷)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　(1)函数f(x)＝＋b的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＋b＝＋b.当b＝1时，易知函数f(x)为奇函数，当b≠1时，函数f(x)为非奇非偶函数，所以函数f(x)的奇偶性与a无关，但与b有关，故选D.
(2)∵f(x)＝cos x＋bsin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，∴2bsin x＝0.由x的任意性得b＝0.
故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立.
反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数.充分性成立.
∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.
故选C.
答案　(1)D　(2)C
考点二　函数奇偶性的应用
【例2】 (1)(一题多解)(2019·浙江新高考仿真卷三)已知函数f(x)＝，则f(0)＝________，f(log23)＋f＝________.
(2)(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x0，－x0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
所以f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a＝8.
解得a＝－3.
答案　(1)0　0　(2)－3
规律方法　(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.
(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值.
【训练2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A.－3 B.－1
C.1 D.3
(2)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－2(x>0)，若f(a－2)≥0，则a的取值范围为(　　)
A.[2－，2]∪[2＋，＋∞)
B.[2－，2＋]
C.[2－，2]
D.[2＋，＋∞)
解析　(1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.

(2)函数f(x)的图象如图所示，由题可知f(0)＝0且f()＝0，则－≤a－2≤0或a－2≥，解得2－≤a≤2或a≥2＋，故选A.
答案　(1)C　(2)A
考点三　函数的周期性及其应用
【例3】 (1)(2020·杭州质检)已知函数f(x)(x∈R)的周期为T(T＞0)，且在(0，T)上单调，则(　　)
A.f(x2)是周期函数，且在(0，)上单调
B.f(x2)不是周期函数，且在(0，)上单调
C.f(x2)是周期函数，且在(0，T2)上单调
D.f(x2)不是周期函数，且在(0，T2)上单调
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝__________.
解析　(1)因为f[(x＋A)2]＝f(x2＋2Ax＋A2)，显然2Ax＋A2不是与x无关的常数，所以函数f(x2)不是周期函数，当x∈(0，)时，x2∈(0，T)，因为函数f(x)在(0，T)上单调，所以函数f(x2)在(0，)上单调，故选B.
(2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.
又当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2，
∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.
∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝
f(2 018)＋f(2 019)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.
答案　(1)B　(2)1 010
规律方法　(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.
(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
【训练3】 (1)若函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________.
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.
解析　(1)因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos ＝.
(2)f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，
故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5).
∵2≤2.5≤3，由题意得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
答案　(1)　(2)2.5
考点四　函数性质的综合运用
【例4】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为(　　)
A.－1 B.1
C.0 D.2
(2)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m.
则M＋m＝________.
解析　(1)由题意知g(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(－x)＝－g(x).
由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，∴f(－x－1)＝－f(x－1).
由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，
∴f(－x－1)＝f[－(x＋1)]＝f(x＋1)，∴f(x＋1)＝
－f(x－1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.
∴f(2 017)＋f(2 019)＝f(2 018－1)＋f(2 018＋1)＝0.
(2)f(x)＝＝1＋，
令g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，又x∈R.
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
故M＋m＝2.
答案　(1)C　(2)2
规律方法　(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
【训练4】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，若实数a满足f(log3 a)＋f(loga)≥2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A.(0，3] B.
C. D.[1，3]
(2)(2019·浙江新高考仿真卷三)已知偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝ax2－bx＋c，a，b，c∈N*.若函数f(x)在[－100，100]上有400个零点，则a＋b＋c的最小值为(　　)
A.5 B.8
C.11 D.12
解析　(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故f(x)在(－∞，0]上单调递增.因为f(log3 a)＋f(log a)≥2f(1)，所以f(log3 a)＋f(－log3 a)＝2f(log3 a)≥2f(1)，即f(log3 a)≥f(1)＝f(－1)，所以－1≤log3 a≤1，解得≤a≤3，故选C.
(2)由f(1－x)＝f(1＋x)，得f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为周期为2的周期函数，则函数f(x)在[－100，100]上有400个零点等价于函数f(x)在[0，1]上有两个不同的零点，又因为a，b，c∈N*，所以
即所以要使a＋b＋c取得最小值，不妨取c＝1，不等式组化为以a为横轴，b为纵轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(不含边界)所示，由图易得区域内横纵坐标之和最小的整数点为(5，5)，此时a＝b＝5，所以a＋b＋c的最小值为11，故选C.

答案　(1)C　(2)C

基础巩固题组
一、选择题
1.函数f(x)＝ln (a，b∈R，且ab≠0)的奇偶性(　　)
A.与a有关，且与b有关
B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，但与b有关
D.与a无关，且与b无关
解析　易知f(x)的定义域关于原点对称，因为f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其奇偶性与a，b均无关，故选D.
答案　D
2.(2019·北京顺义区期末)已知函数f(x)＝2－x－2x，则f(x)(　　)
A.是偶函数，且在R上是增函数
B.是奇函数，且在R上是增函数
C.是偶函数，且在R上是减函数
D.是奇函数，且在R上是减函数
解析　f(x)＝－2x，f(－x)＝2x－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
又∵函数y＝与y＝－2x都是减函数，
两个减函数之和仍为减函数.
答案　D
3.(2019·北京西城区综合练)若f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则(　　)
A.f(x)的值域为R
B.f(x)为周期函数，且6为其一个周期
C.f(x)的图像关于x＝2对称
D.函数f(x)的零点有无穷多个
解析　f(x)是定义域为R的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，
又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是以4为周期的函数，f(4k)＝f(0)＝0(k∈Z)，
所以函数f(x)的零点有无穷多个；
因为f(x＋2)＝－f(x)，f[(x＋1)＋1]＝f(－x)，令t＝1＋x，则f(t＋1)＝f(1－t)，
即f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，
由题意无法求出f(x)的值域.
答案　D
4.已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x＞时，f＝f.则f(6)＝(　　)
A.－2 B.－1
C.0 D.2
解析　当x＞时，由f＝f，
得f(x)＝f(x＋1)，∴f(6)＝f(1)，
又由题意知f(1)＝－f(－1)，且f(－1)＝(－1)3－1＝－2，
因此f(6)＝－f(－1)＝2.
答案　D
5.若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(　　)
A.(－∞，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，整理得(1－a)(2x＋1)＝0，
∴a＝1，∴f(x)＞3，即为＞3，等价于(2x－2)(2x－1)＜0，
∴1＜2x＜2，∴0＜x＜1.
答案　C
6.(2019·浙江名师预测卷三)下列函数中，在[－1，1]上的值域是[－2，2]的是(　　)
A.f(x)＝2sin(x3－3x)
B.f(x)＝sin3x－3sin x
C.f(x)＝cos3x－3cos x
D.f(x)＝2cos(x3－3x)
解析　因为y＝u3－3u是奇函数且在[－1，1]上单调递减，y＝sin x为奇函数且在上单调递增.A中，x3－3x∈[－2，2]，所以2sin(x3－3x)∈[－2，2]，故A正确；B中，sin x∈[－sin 1，sin 1]，因为1＞sin 1，所以sin3x－3sin x的值域中不会有－2，故B错误；C中，cos x∈[cos 1，1]，由0＜cos 1知0∉[cos 1，1]，所以f(x)＝cos3x－3cos x的值域中不包含0，故C错误；D中，x3－3x∈[－2，2]，所以f(x)＝2cos(x3－3x)的值域为[2cos 2，2]，故D错误.故选A.
答案　A
7.已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)