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2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第68课直线与平面平行
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第68课 直线与平面平行1. 了解直线与平面的位置关系.2. 理解直线与平面平行的判定定理与性质定理.1. 阅读:必修2第32~34页.2. 解悟:①直线和平面的位置关系,注意直线与平面相交也称直线在平面外;②读懂线面平行的判定定理和性质定理.3. 践习:在教材空白处,完成第34页练习第1题;第35页练习第3、4题. 基础诊断 1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为 平行 .解析:如图,连结AC,BD交于点O,连结OE.因为OE∥BD1,OE⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,所以BD1∥平面ACE.2. 已知两条不重合的直线a,b和平面α.①若a∥α,b⊂α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b⊂α,则a∥α;④若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α.上述命题中正确的是 ④ .(填序号)解析:①若a∥α,b⊂α,则a,b平行或异面,故①错误;②若a∥α,b∥α,则a,b平行、相交或异面,故②错误;③若a∥b,b⊂α,则a⊂α或a∥α,故③错误;④正确.3. 过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 6 条.解析:如图,各中点连线中只有平面EFGH与平面ABB1A1平行,即在四边形EFGH中有6条直线符合题意.4. 下列命题中正确的是 ④ .(填序号)①若a,b是两条直线,且a∥b,则a平行于经过b的任何平面;②若直线a和平面α满足a∥α,则a与α内的任何直线平行;③平行于同一条直线的两个平面平行;④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄a,则b∥α.解析:①直线a可能在经过b的平面内,故①错误;②直线a还可以与平面α内的直线异面,故②错误;③平行于同一条直线的两个平面也可能相交,故③错误;过直线a作平面β,交平面α于直线c.因为a∥α,所以a∥c.因为a∥b,所以b∥c.因为b⊄α,且c⊂α,所以b∥α,故④正确. 范例导航 考向❶ 直线与平面平行的判定例1 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,且A1M=AN=a.(1) 求证:MN∥平面BB1C1C;(2) 求MN的长.解析:(1) 作MP∥AB,NQ∥AB,分别交BB1,BC于点P,Q,连结PQ,由作图可得PM∥QN.因为A1M=a,=,得PM=a.同理QN=a,所以PM∥QN,PM=QN,所以四边形PQNM是平行四边形,所以MN∥PQ.因为MN⊄平面BB1C1C,PQ⊂平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.(2) 因为BP=PM=a,CQ=QN=a,所以BQ=a,所以在Rt△PBQ中,PQ=a,所以MN=PQ=a.【注】 这里证明线面平行,就是将直线MN平移到平面BB1C1C中,要注意体会平移的方向和距离,构造的辅助面是哪一个.如图,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,BC=AD,E,F分别为AD,PC的中点.求证:AP∥平面BEF.解析:连结EC,AC,AC交BE于点O,连结OF.因为AD∥BC,BC=AD,所以BC∥AE且BC=AE,所以四边形ABCE是平行四边形,所以O为AC的中点.因为F是PC的中点,所以FO∥AP.因为FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.【注】 这里辅助线的由来,就是将点C视为投影中心,构造辅助面CPA找到了平面内的那条“线”.考向❷ 直线与平面平行的判定和性质的综合运用例2 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,N是PB的中点,过A,N,D三点的平面交PC于点M.求证:(1) PD∥平面ANC;(2) M是PC的中点.解析:(1) 连结BD,设BD∩AC=O,连结NO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是BD的中点.因为N是PB的中点,所以PD∥NO.又NO⊂平面ANC,PD⊄平面ANC,所以PD∥平面ANC.(2) 因为底面ABCD为平行四边形,所以AD∥BC.因为BC⊄平面ADMN,AD⊂平面ADMN,所以BC∥平面ADMN.因为平面PBC∩平面ADMN=MN,所以BC∥MN.又N是PB的中点,所以M是PC的中点.【注】 不论是用判定定理,还是用性质定理,目光要聚焦在辅助平面上,这样,要找的“线”才能从复杂的背景图形中凸显出来求证:如果一条直线和两个相交平面平行,那么该直线与这两个相交平面的交线平行.解析:已知:a∥α,a∥β,且α∩β=b.求证:a∥b.证明:如图,在平面α内任取一点A,且使A∉b.因为a∥α,A∉a,故点A和直线a确定一个平面γ,设γ∩α=m.同理,在平面β内任取一点B,且使B∉b,则点B和直线a确定一个平面δ,设δ∩β=n.因为a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,所以a∥m.同理可得a∥n,所以m∥n.因为m⊄β,n⊂β,所以m∥β.因为m⊂α,α∩β=b,所以m∥b.因为a∥m,所以a∥b. 自测反馈 1. 已知下列命题:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;④若直线a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的序号为 ④ .解析:①因为直线l与平面内无数条直线平行,l可能在平面α内,故①错误;②直线a在平面α外包括两种情况,a∥α和a与平面α相交,故②错误;③若直线a∥b,b⊂α,则a可能在平面α内,故③错误;④因为a∥b,b⊂α,所以a⊂α或a∥α,所以a平行于平面α内的无数条直线,故④正确.2. 设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是 ② .(填序号)①若l∥α,l∥β,则α∥β;②若l⊥α,l⊥β,则α∥β;③若l⊥α,l∥β,则α∥β;④若α⊥β,l∥α,则l∥β.解析:①若l∥α,l∥β,则α,β可能相交,故①错误;②正确;③若l⊥α,l∥β,则α⊥β,故③错误;④若α⊥β,l∥α,则l与β可能相交,可能平行,也可能直线l在平面β内,故④错误.故选②3. 下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是 ①③ .(写出所有符合要求的图形序号) ① ② ③ ④解析:①因为平面MNP与AB所在的平面平行,所以AB∥平面MNP;②设下底面的中心为O,易知NO∥AB,NO⊄平面MNP,所以AB与平面MNP不平行;③易知AB∥MP,所以AB∥平面MNP;④易知存在一直线MC∥AB,且MC⊄平面MNP,所以AB与平面MNP不平行.故填①③.1. 运用线面平行的判定定理和性质定理时,都涉及“线线平行”,即平面外的直线与平面内的直线平行.需要思考的是:这里的“线”与“线”实质上一定是共面的!因此,用判定定理“找线”通常要通过找平面来实现,找到了辅助面,辅助面与已知平面的“交线”必定是要找的“线”.2. 找(造)辅助面的方法通常有:一是平行投影法,如例1;二是中心投影法,如例1的跟踪练习,可视点C为投影中心.例2又是用什么方法找的哪一个辅助面?3. 你还有哪些体悟,请写下来: