2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第41课__两条直线平行与垂直

第41课两条直线平行与垂直　　

1. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直，会利用直线方程确定两条直线的关系.

2. 能够运用直线间的关系求直线的方程或确定参数，掌握点到直线的距离公式.

3. 通过分类讨论、数形结合等数学思想的运用，培养思维的严谨性、辩证性.

1. 阅读：必修2第89～91页.

2. 解悟：①两条直线斜率相等是否一定平行？两条直线平行，它们的斜率一定相等吗？若两条直线的斜率之积为－1，则它们垂直吗？反之如何？②关注第92页的例5，学习建立坐标系解决问题的方法；③点到直线距离公式的本质是什么？

3.  践习：在教材空白处，完成必修2第93页练习第2、4、7题；必修2第105页习题第1、2题.

　基础诊断　

1. 已知两点A(－2，0)，B(0，4)，则线段AB的垂直平分线方程是　x＋2y－3＝0　.

解析：由点A(－2，0)，B(0，4)，可得AB的中点M(－1，2)，kAB＝＝2，所以线段AB的垂直平分线的斜率k′＝－，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋2y－3＝0.

2. 若直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a＝　－1　.

解析：因为直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2＝x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，所以a(a－1)＝2，解得a＝－1或2.经检验，当a＝2时，直线l1与l2重合，所以a＝－1符合题意.

3.  过点P(－1，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为　2x＋y－1＝0　.

解析：因为直线x－2y＋3＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为－2，所以y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.

4. “a＝3”是“直线ax＋3y＝1与直线x＋y＝1平行”的　充要　条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分又不必要”)

解析：当a＝3时，直线ax＋3y＝1与直线x＋y＝1平行，故充分性成立；反之，直线ax＋3y＝1与直线x＋y＝1平行时，a＝3，故必要性成立，所以“a＝3”是“直线ax＋3y＝1与直线x＋y＝1平行”的充要条件.

5. 已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则实数a＝　－1　.

解析：由点到直线的距离公式得d＝＝1，解得a＝±－1.又因为a>0，所以a＝－1.

　范例导航　

考向❶   由直线方程判断直线间关系，确定参数值

例1　已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2：(1) 相交；(2) 平行；(3) 重合.

解析：当m＝0时，l1的方程为x＋6＝0，l2的方程为x＝0，故l1∥l2；

当m＝2时，l1的方程为x＋4y＋6＝0，l2的方程为3y＋2＝0，故l1与l2相交；

当m≠0，m≠2时，

由＝，得m＝－1或m＝3，

当m＝3时，l1的方程为x＋9y＋6＝0，l2的方程为x＋9y＋6＝0，故l1与l2重合.

(1) 当m≠－1且m≠0且m≠3时，l1与l2相交.

(2) 当m＝－1或m＝0时， l1∥l2.

(3) 当m＝3时，l1与l2重合.

【备用题】 已知两直线l1：x＋ysinθ－1＝0和l2：2xsinθ＋y＋1＝0，当θ为何值时，满足：

(1) l1∥l2；(2) l1⊥l2.

解析：(1) 若l1∥l2，则2sin2θ＝1，

解得sinθ＝±，所以θ＝kπ±，k∈Z.

(2) 若l1⊥l2，则2sinθ＋sinθ＝0，

所以sinθ＝0，

所以θ＝kπ，k∈Z.

已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：

(1)  l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；

(2)  l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.

解析：(1)  因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.

因为直线l1过点(－3，－1)，

所以－3a＋b＋4＝0，故a＝2，b＝2.

(2)  因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，

所以直线l1的斜率存在，

所以k1＝k2，即＝1－a.

因为坐标原点到这两条直线的距离相等，

所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，

故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

考向❷   由直线间关系求直线的方程

例2　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，根据下列条件求直线l′的方程：

(1) l′∥l且过点(－1，3)；

(2) l′⊥l且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；

(3) l′是l绕原点旋转180°而得到的直线.

解析：(1) 方法一：由题意得直线l的斜率为－.

因为l′∥l，所以直线l′的斜率为－.

因为直线l′过点(－1，3)，

所以y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.

方法二：因为l′∥l，

所以设直线l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12).

因为直线l′过点(－1，3)，

所以m＝－9，

所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0.

(2) 方法一：由题意得直线l的斜率为－，

因为l′⊥l，所以直线l′的斜率为，

设直线l′的方程为y＝x＋b，分别令y＝0，x＝0，得其与x，y轴的交点分别为，(0，b).

因为l′与两坐标轴围成的三角形面积为4，

所以S＝·|b|＝b2＝4，

所以b＝±，

所以直线l′的方程为4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0.

方法二：因为l′⊥l，直线l的方程为3x＋4y－12＝0，　

所以设直线l′的方程为4x－3y＋m＝0，分别令y＝0，x＝0，得其与x，y轴的交点分别为，.

因为l′与两坐标轴围成的三角形面积为4，

所以S＝·＝＝4，

所以m＝±4，　

所以直线l′的方程为4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0.

(3) 方法一：设直线l′上任意一点的坐标为(x，y)，其关于原点的对称点为(－x，－y).

因为l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，

所以点(－x，－y)在3x＋4y－12＝0上，

所以－3x－4y－12＝0，直线l′的方程即为3x＋4y＋12＝0.

方法二：因为l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，

所以l′∥l，且原点到它们的距离相等，

所以设直线l′的方程为3x＋4y＋t＝0(t≠－12)，

由点到直线距离公式，得＝，解得t＝12或t＝－12(舍去)，

所以直线l′的方程为3x＋4y＋12＝0.

【备用题】 直线l过点(2，4)，被两平行直线x－y＋1＝0，x－y＋2＝0截得的线段中点在直线x＋2y－3＝0上，求直线l的方程.

解析：设直线l与两平行线的交点为A，B，AB的中点为C，则由题意知点B在直线x－y＋2＝0上，即B(2，4).

设A(x0，y0)，则AB的中点C坐标为(，)

因为点C在直线x＋2y－3＝0上，

所以＋2×－3＝0，即x0＋2y0＋4＝0，

联立解得

即A(－2，－1)，所以C，

所以直线l的方程为5x－4y＋6＝0.

直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，求直线l的方程.

解析：由题意可知，当直线l平行于AB或过AB的中点时，满足题意.

当直线l平行于直线AB时，斜率k＝＝－，

则由点斜式方程可得y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0；

当直线l经过AB的中点(－1，4)时，直线过点(－1，2)和(－1，4)，

此时直线l的方程为x＝－1.

综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.

　自测反馈　

1. 已知三条直线x－y＋1＝0，2x＋y－4＝0，ax－y＋2＝0共有两个交点，则实数a＝　1或－2　.

解析：因为直线x－y＋1＝0与直线2x＋y－4＝0相交于一点，所以直线ax－y＋2＝0只能与另外两条直线中的一条直线平行.当直线x－y＋1＝0与直线ax－y＋2＝0平行时，a＝1；当直线2x＋y－4＝0与直线ax－y＋2＝0平行时，a＝－2.综上，a＝1或－2.

2. “m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0垂直”的　充分不必要　条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分又不必要”)

解析：若m＝，则直线x＋y＋1＝0与直线－x＋y－3＝0垂直；若直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0垂直，则(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝或－2，故“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0垂直”的充分不必要条件.

3. 已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　x＋2y－3＝0　.

解析：由题意得，l1，l2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直.由于AB的斜率为＝2，故直线l1的斜率为－，故直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.

4. 已知直线l1：x＋3y－5＝0与l2：3kx－y＋1＝0，使得l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，此时k的值为　±1　.

解析：直线l1：x＋3y－5＝0的斜率为－，直线l2：3kx－y＋1＝0过定点B(0，1).如图1所示，圆的内接四边形相对内角互补，可是O，A，P，B四点共圆时，l1⊥l2于点P，即两直线的斜率之积为－1，得k＝1.如图2所示，四边形ABCD的相对内角互补，所以tan∠ABC＝－tan∠ADC.因为tan(90°＋∠ABC)＝kBC＝－，所以tan∠ABC＝3，所以－3k＝3，即k＝－1.综上，k＝±1.

图1     　图2

1. 两条直线平行等价于它们的倾斜角相等，但用代数的方法研究两条直线平行和垂直时，运用斜率比运用倾斜角更方便.

2. 求点到直线的距离时，需先把直线的方程化为一般式再求解.求两平行线间的距离时要注意首先将两直线方程中的x，y的系数化为相同.

3. 你还有哪些体悟，写下来：