2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第42课__两条直线的相交

第42课　两条直线的相交　　

1. 熟练掌握利用直线方程求两条直线的交点坐标的方法.

2. 理解两条直线的三种位置关系(平行、相交、重合)与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解(无解、有唯一解、有无数个解)的对应关系.

3. 了解简单的直线对称问题，会求已知直线关于点或直线对称的直线的方程.

1. 阅读：必修2第93～103页.

2. 解悟：①对于两条直线，用方程组研究它们交点情况，理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解(无解、有唯一解、有无数个解)的对应关系；②完成必修2第94页例2，并思考经过两条直线交点的直线方程有什么特征？

3. 践习：在教材的空白处完成第95～96页练习第3、4、5题，习题第2、3、4题.

　基础诊断　

1. 已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为　20　.

解析：由题意得m×2＋4×(－5)＝0，解得m＝10.又因为两直线垂足为(1，p)，所以10＋4p－2＝0，解得p＝－2.将点(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0，即2－5×(－2)＋n＝0，解得n＝－12，所以m－n＋p＝10－(－12)＋(－2)＝20.

2. 经过直线2x＋3y－7＝0与7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程是　3x＋6y－2＝0　.

解析：由解得所以直线2x＋3y－7＝0与7x＋15y＋1＝0的交点为.设所求直线的方程是x＋2y＋λ＝0(λ≠－3)，将点代入可得λ＝－，所以所求直线方程为3x＋6y－2＝0.

3. 若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点　(0，2)　.

4. 直线(m＋2)x－(2m－1)y－(3m－4)＝0恒过定点　(－1，－2)　.

解析：由题意得m(x－2y－3)＋(2x＋y＋4)＝0，令解得所以直线恒过定点(－1，－2).

　范例导航　

考向❶  利用方程组求两直线交点的问题

例1　已知△ABC的顶点B(3，4)，AB边上的高CE所在直线的方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线的方程为2x－3y＋1＝0，求AC的长.

解析：因为kCE＝－，AB⊥CE，所以kAB＝，

所以直线AB的方程为3x－2y－1＝0.

联立解得A(1，1).

设C(a，b)， 则D，

因为点C在CE上，BC的中点D在AD上，

所以解得C(5，2)，

由两点间距离公式得AC的长为.

某直线过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到该直线的距离为2，求该直线的方程.

解析：根据题意，可得

解得

所以直线l1与直线l2的交点坐标为(1，2).

若直线斜率不存在，则直线方程为x＝1，不满足点P(0，4)到直线的距离为2，所以直线斜率存在.

设所求直线为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.

因为点P到直线距离为2，所以＝2，解得k＝0或k＝，

所以直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.

考向❷  由点、线关系求直线方程

例2　如图，在平面直角坐标系中，已知射线OA：x－y＝0(x≥0)，OB：x＋3y＝0(x≥0)，过点P(1，0)作直线l分别交射线OA，OB于点A，B.

(1) 当AB的中点为P时，求直线AB的方程；

(2) 当AB的中点在直线y＝x上时，求直线AB的方程.

解析：(1) 方法一：当直线AB垂直于x轴时，P不是AB的中点，不合题意；

当直线AB不垂直于x轴时，设其方程为y＝k(x－1)，

由方程组解得点A(，)，

当k＝1时，AB∥OA，不合题意；

由方程组解得点B(，－)，当k＝－时，AB∥OB，不合题意.

因为P为AB的中点，所以－＝0，解得k＝－－1或k＝0(舍去)，

所以直线AB的方程为2x＋(－1)y－2＝0.

方法二：因为A，B分别是直线l与射线OA：x－y＝0(x≥0)，OB：x＋3y＝0(x≥0)的交点，

所以设A(a，a)，B.

因为P(1，0)是AB的中点，

所以 解得

所以A(－1，－1)，B(3－，1－)，

所以直线AB的方程为2x＋(－1)y－2＝0.

(2)  当直线AB垂直于x轴时， AB的中点不在y＝x上，不合题意，

则设其方程为y＝t(x－1)，

由方程组

解得点A，

由方程组

解得点B(，－)，

所以AB的中点坐标为(＋，－)，

代入y＝x得－＝(＋)，

解得t＝或t＝0(舍去)，

所以直线AB的方程为3x－(3－)y－3＝0.

已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点.

(1)  若点A(5，0)到l的距离为3，求直线l的方程；

(2)  求点A(5，0)到直线l距离的最大值.

解析：(1)  由直线l经过直线l1与l2交点知，其直线方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0(λ≠0)，

即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.

因为点A(5，0)到直线l的距离为3，

所以＝3，

即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝，

所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.

(2)  设直线l1与l2的交为P，由解得P(2，1).

如图，过点P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA，当l⊥PA时等号成立，

所以dmax＝PA＝＝.

考向❸  对称问题

例3　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：

(1)  点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)  直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)  直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.

解析：(1)  设A′(x，y)，由已知得

解得

所以A′.

(2)  在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在直线m′上.设对称点为M′(a，b)，

则

解得M′(，).

设直线m与l的交点为N，则

解得N(4，3).

因为直线m′经过点N(4，3)，

所以直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

(3)  设P(x，y)为直线l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y).

因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.

　自测反馈　

1. 已知三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10中任意两条直线均不平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为　－1　.

解析：因为三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则直线ax＋2y＋8＝0必经过4x＋3y＝10和2x－y＝10的交点.联立解得代入ax＋2y＋8＝0，得a＝－1.

2. 若直线l1：y＝kx＋1与l2：x＝ky相交，且交点在第二象限，则直线l1的倾斜角的取值范围是　　；直线l2的倾斜角的取值范围是　　.

解析：因为直线l1：y＝kx＋1与直线l2：x＝ky相交，且交点在第二象限，联立解得(k2≠1)，则所以－1<k<0，<－1，所以直线l1的倾斜角的取值范围为，直线l2的倾斜角取值范围为.

3. 若直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则b＝　2　.

解析：在直线x＋2y－3＝0上任取一点B(2，)，则点B关于点A的对称点C(m，n)在直线ax＋4y＋b＝0上，则A为BC的中点，所以解得所以C，代入ax＋4y＋b＝0，得b＝2.

4.  若光线通过点A(2，3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，则入射光线所在直线的方程为　5x－4y＋2＝0　；反射光线所在直线的方程为　4x－5y＋1＝0　Ｗ.

解析：设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则解得所以A′(－4，－3).由于反射光线所在直线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)，所以反射光线所在直线的方程为y－1＝(x－1)，即4x－5y＋1＝0.联立解得反射点P(－，－)，所以入射光线所在直线的方程为5x－4y＋2＝0.

1. 有了直线的方程，对直线之间的位置关系的研究就可以转化为对直线方程的研究.

2. 直线关于直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称点问题进行处理.在具体问题中，直线和点都具有特殊性，要充分利用它们的特殊性解决问题.

3. 你还有哪些体悟，写下来：