2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第7课__函数的性质（1）

___第7课__函数的性质(1)____

1. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性．

2. 掌握判断一些简单函数单调性的常用方法．

3. 会运用函数图象理解和研究函数的单调性.

1. 阅读：必修1第37～39页．

2. 解悟：①圈出第37页蓝色框中关于单调函数及单调区间概念中的关键词；②如何求函数的单调区间？有哪些方法？③用定义法判断函数单调性的一般步骤和注意点；④对于基本初等函数，我们一般用什么方法求函数的最值？

3. 践习：在教材空白处，完成第40页练习第1、2、5、7、8题.

　基础诊断　

1.  函数y＝的单调减区间是__(－∞，1)，(1，＋∞)__．

解析：因为y＝＝1＋，所以该函数的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．

2. 已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(m2)>f(－m)，则实数m的取值范围为__(－∞，－1)∪(0，＋∞)__．

解析：因为y＝f(x)在R上是增函数，且f(m2)>f(－m)，所以m2>－m，即m2＋m>0，解得m>0或m<－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．

3. 函数y＝x2－lnx的单调减区间为__(0，1]__．

解析：由题意可知x>0，y′＝x－，令y′≤0，则x－≤0，即≤0，解得－1≤x≤1且x≠0.又因为x>0，所以0<x≤1，故该函数的单调减区间为(0，1]．

4. 已知函数y＝f(x)在R上是减函数，点A(0，－2)，B(－3，2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2的解集为__(－3，0)__．

解析：由题意得－2＝f(0)，2＝f(－3)，所以－2<f(x)<2，即f(0)<f(x)<f(－3)．又因为函数f(x)在R上是减函数，所以－3<x<0，故该不等式的解集为(－3，0)．

5. 已知f(x)＝是R上的单调增函数，则实数a的取值范围为__[4，8)__．

解析：因为函数f(x)是R上的单调增函数，所以f(x)＝ax在(1，＋∞)上单调递增，f(x)＝x＋2在(－∞，1]上单调递增，所以解得4≤a<8，故实数a的取值范围是[4，8)．

　范例导航　

考向❶  求函数的单调区间

例1　求下列函数的单调区间：

(1) y＝2－x2＋4x－3；

(2) y＝log(－x2＋4x－3)．

解析：(1) 由题意得函数的定义域为R，

因为函数y＝2x在R上是增函数，

所以函数y＝－x2＋4x＋3的增(减)区间即为原函数的增(减)区间．

因为函数y＝－x2＋4x＋3的增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)，

所以原函数的增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)．　

(2) 因为y＝log(－x2＋4x－3)，

所以－x2＋4x－3>0，解得1<x<3.

令t＝－x2＋4x－3，则y＝logt.

因为t在区间(1，2)上单调递增，区间(2，3)上单调递减，而y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，

所以函数y＝log(－x2＋4x＋3)在区间(2，3)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减．

求函数y＝x2－x－2lnx的单调区间．

解析：由题意知，原函数的定义域为(0，＋∞)．

因为y＝x2－x－2lnx，所以y′＝x－－1.

令y′>0，则x－－1>0，解得x>2；

令y′<0，则x－－1<0，解得0<x<2.

所以该函数的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(0，2).

考向❷  证明单调性，以及根据单调性求参数的取值范围

例2　已知函数f(x)＝(x≠a)．

(1) 若a＝－2，求证：函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增；

(2) 若a>0且函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．

解析：(1) 设x1<x2<－2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

所以f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增．

(2) 设1<x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为a>0，x2－x1>0，

所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.

综上所述，a的取值范围是(0，1]．

已知函数f(x)＝ax3＋x2＋x－1.

(1) 当a＝－时，求f(x)的单调区间；

(2) 若函数f(x)在[1，3]上单调递增，求a的取值范围．

解析：(1) 当a＝－时，f(x)＝－x3＋x2＋x－1，

则f′(x)＝－x2＋2x＋1.

令f′(x)≥0，解得1－≤x≤1＋；

令f′(x)<0，解得x<1－或x>1＋.

故当a＝－时，f(x)的单调增区间为[1－，1＋]，

单调减区间为(－∞，1－)，(1＋，＋∞)．

(2) f′(x)＝2ax2＋2x＋1≥0对∀∈[1，3]恒成立，

所以a≥－－＝－＋.

因为∈，所以当x＝3时，－(＋1)2＋取最大值－，

所以a的取值范围为.

考向❸  利用单调性求最值

例3　已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1) 当a＝时，求函数f(x)的最小值；

(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．

解析：(1) 当a＝时，f(x)＝x＋＋2.

设1≤x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1).

因为1≤x1<x2，所以x2－x1>0，2x1x2>2，

所以0<<，1－>0，

所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，

所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.

(2) 在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立．

设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，

则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数，

所以当x＝1时，ymin＝3＋a，

于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3，即实数a的取值范围为(－3，＋∞)．

　自测反馈　

1. 已知定义在区间(－1，1)上的函数f(x)是减函数，且满足f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为____．

解析：由题意得

解得

所以0<a<，故实数a的取值范围是.

2. 函数f(x)＝在区间[1，2]上单调递__增__．(填“增”或“减”)

解析：设1≤x1<x2≤2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为(x1＋1)(x2＋1)>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间[1，2]上单调递增．

3. “a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增”的__充要__条件．

解析：当a＝0时，f(x)＝|－x|＝|x|，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增；

当a<0时，f(x)＝|(ax－1)x|，函数f(x)与x轴的交点为(0，0)，，函数的大致图象如图1，故函数f(x) 在(0，＋∞)上单调递增；

当a>0时，f(x)＝|(ax－1)x|，函数与x轴的交点为(0，0)，，函数的大致图象如图2，故函数f(x)在上单调递增，在(0，＋∞)上不是增函数．

综上，当函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增时，a≤0，故“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．

图1   　　图2

4.  若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是__(1，2]__．

解析：当x≤2时，f(x)＝－x＋6≥－2＋6＝4；当x>2时，若a>1，则f(x)＝3＋logax>3＋loga2，由f(x)的值域可知，3＋loga2≥4，解得1<a≤2；若0<a<1，则f(x)＝3＋logax<3＋loga2，与f(x)的值域矛盾，故a的取值范围是(1，2]．

1.  函数的单调性主要关注的是函数的局部性质．

2.  单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．多个单调区间不能用“∪”连结，要用“逗号”或者“和”连结.

3. 你还有哪些体悟，写下来：