2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第6课__函数的表示方法

____第6课__函数的表示方法____1. 了解构成函数的三要素，进一步理解函数的概念．2. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3. 掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法．4. 了解简单的分段函数，并能简单地应用.1. 阅读：阅读必修1第33～34页．2. 解悟：①函数的表示方法有哪些？回顾例1并比较三种表示方法的优劣；②你能在书本中找到分段函数的定义吗？分段函数是一个函数还是多个函数？③如何求分段函数的值域或最值？④函数的解析式是函数的一种表示方法，那么求函数解析式，你知道哪些方法？3. 践习：在教材空白处，完成第35页练习第3题和习题第2、4题.　基础诊断　1. 已知函数f(x)＝，g(x)＝x2＋2，则f(2)＝____；g(2)＝__6__；f(g(2))＝____；f(g(x))＝____．解析：f(2)＝＝；g(2)＝22＋2＝6；f(g(2))＝f(6)＝＝；f(g(x))＝＝.2.  已知函数 f(x)＝则f＝____．解析：因为f＝log3＝－2，所以f＝f(－2)＝2－2＝.3.  若f(x＋1)＝x2＋4x＋1，则f(x)＝x2＋2x－2．解析：因为f(x＋1)＝x2＋4x＋1，令t＝x＋1，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2，故f(x)＝x2＋2x－2.4.  若等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则y＝__20－2x，x∈(5，10)__．解析：因为△ABC是等腰三角形且周长为20，△ABC的周长＝2×腰长＋底边长，所以20＝2x＋y，即y＝20－2x.又y<2x<20，解得5<x<10，故y＝20－20x，x∈(5，10)．5. 设二次函数f(x)的最大值是13，f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)的解析式为__f(x)＝－2x2＋4x＋11__．解析：由题意可设f(x)＝a(x－1)2＋13，因为f(3)＝f(－1)＝5，所以a×(－1－1)2＋13＝5，解得a＝－2，所以f(x)＝－2(x－1)2＋13＝－2x2＋4x＋11.　范例导航　考向❶  求函数的解析式例1　(1) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求函数f(x)的解析式．解析：(1) 设f(x)＝kx＋b，则由题意得3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b]＝2x＋17，即kx＋5k＋b＝2x＋17，所以解得所以f(x)＝2x＋7.(2) 因为2f(x)＋f＝3x，①用代替x，则2f＋f(x)＝，②由①×2－②得，4f(x)－f(x)＝6x－，即3f(x)＝6x－，所以f(x)＝2x－.(1) 已知f(x) 为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式；(2) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2，求函数f(x)和g(x)的解析式．解析：(1) 由题意可设f(x)＝ax2＋bx.因为f(x＋1)－f(x)＝x＋1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)－(ax2＋bx)＝x＋1，整理得2ax＋a＋b＝x＋1，所以解得所以f(x)＝x2＋x.(2) 由题意可知f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)．因为f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2，①所以f(－x)＋g(－x)＝x2－x＋2，即f(x)－g(x)＝x2－x＋2.②由①＋②得，2f(x)＝2x2＋4，即f(x)＝x2＋2，由①－②得，2g(x)＝2x，即g(x)＝x，所以f(x)＝x2＋2，g(x)＝x.考向❷  分段函数的解析式例2　如图是函数f(x)的图象，OC段是射线，曲线OBA是抛物线的一部分，试写出f(x)的函数表达式．解析：当x≤0时，由图象过点(－2，－2)，(0，0)可知，直线OC的斜率为1，所以射线OC的函数表达式为y＝x(x≤0)；当x>0时，f(x)是二次函数，所以设f(x)＝a(x－1)2＋b.由图可知，则解得所以f(x)＝(x－1)2－1＝x2－2x.故f(x)＝设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|.(1) 将f(x)写成分段函数，并作出y＝f(x)的图象；(2) 解不等式f(x)>5，并求出f(x)的最小值．解析：(1) 当x＋1<0，即x<－1时，x－2<0，所以f(x)＝－x－1－x＋2＝－2x＋1；当x＋1≥0且x－2≤0，即－1≤x≤2时，f(x)＝x＋1－x＋2＝3；当x－2>0，即x>2时，f(x)＝x＋1＋x－2＝2x－1，所以y＝f(x)＝函数图象为(2) 由题意可知，当x<－1时，1－2x>5，解得x<－2；当x>2时，2x－1>5，解得x>3，所以f(x)>5的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．由图可知，f(x)的最小值为3.考向❸  由不等式恒成立求函数解析式例3　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－2，0)且不等式2x≤f(x)≤x2＋2对∀x∈R恒成立．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若对∀x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)<f恒成立，求实数t的取值范围．解析：(1) 因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－2，0)，所以4a－2b＋c＝0.①因为不等式2x≤f(x)≤x2＋2对∀x∈R恒成立，所以当x＝2时也成立，即4≤4a＋2b＋c≤4，即4a＋2b＋c＝4.②由①②求得b＝1，4a＋c＝2，所以f(x)＝ax2＋x＋2－4a，所以2x≤ax2＋x＋2－4a≤x2＋2，即恒成立，故解得a＝，故c＝1，即函数f(x)的解析式为f(x)＝x2＋x＋1.(2) 因为对∀x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)<f恒成立，即(x＋t＋2)2<(x＋6)2恒成立，亦可化得<0，解得－<t<－.又因为x∈[－1，1]，所以－<t<－，故实数t的取值范围为.　自测反馈　1. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝__＋__．解析：因为f(x)＝2f·－1①，用代替x得f＝2f(x)·－1②，将②代入①得f(x)＝2·－1，化简得f(x)＝4f(x)－2－1，即f(x)＝＋.2. 若正比例函数f(x)满足f(f(x))＝4x，则f(x)＝__±2x__．解析：根据题意可设f(x)＝kx，因为f(f(x))＝4x，所以k(kx)＝4x，即k2x＝4x，所以k2＝4，解得k＝±2，所以f(x)＝±2x.3. 已知f(x2－1)＝x4＋x2－2，则f(x)＝__x2＋3x(x≥－1)__．解析：令x2－1＝t(t≥－1)，则x2＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＋t＋1－2＝t2＋3t，所以f(x)＝x2＋3x(x≥－1)．4. 已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a的值为__－__．解析：因为a≠0，f(1－a)＝f(1＋a)．当a>0时，1－a<1<1＋a，则f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a，所以2－a＝－1－3a，解得a＝－(舍去)；当a<0时，1＋a<1<1－a，则f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－a－1，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2，所以－a－1＝3a＋2，解得a＝－.综上所述，a的值为－.5. 已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)>－1的解集为__∪(0，1]__．解析：当－1≤x<0时，0<－x≤1，所以f(x)－f(－x)＝－x－1－(x＋1)>－1，即－2x－2>－1，解得x<－.又因为－1≤x<0，所以－1≤x<－；当0<x≤1时，－1≤－x<0，所以f(x)－f(－x)＝－x＋1－(x－1)>－1，即－2x＋2>－1，解得x<.又因为0<x≤1，所以0<x≤1.综上所述，原不等式的解集为∪(0，1]． 1.  要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的x的取值范围，同时也要注意变量的实际意义．2.  准确理解分段函数的定义、特点及应用．分段函数是指函数的表达式是分段表示的，它是一个函数．3. 你还有哪些体悟，写下来：