2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第6章第2节基本不等式

第二节　基本不等式[考纲传真]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．2．ab≤2≤.3.≤≤≤(a＞0，b＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的． (　　)(2)函数y＝x＋的最小值是2.  (　　)(3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4. (　　)(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A．80　　　B．77　　　C．81　　　D．82C　[∵x＞0，y＞0，∴≥，即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.]3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)A．2  B．3  C．4  D．5C　[由题意得＋＝1.又a＞0，b＞0，∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，故选C.]4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A．1＋   B．1＋C．3   D．4C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.25　[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]利用基本不等式求最值►考法1　配凑法求最值【例1】　(1)设0＜x＜2，则函数y＝的最大值为(　　)A．2　　　　B．　　　　C.　　　　D．(2)若x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．(1)D　(2)1　[(1)∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，∴x(4－2x)＝×2x(4－2x)≤×2＝×4＝2.当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．即函数y＝的最大值为.(2)因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.]►考法2　常数代换法求最值【例2】　已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．故xy的最小值为64.(2)法一：(消元法)由2x＋8y－xy＝0，得x＝，因为x＞0，y＞0，所以y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．故x＋y的最小值为18.法二：(常数代换法)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立，故x＋y的最小值为18.[规律方法]　(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式．(2)常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值．注意：应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”． (1)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．(2)(2019·皖南八校联考)函数y＝loga(x＋4)－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线＋＝－1上，且m＞0，n＞0，则3m＋n的最小值为(　　)A．13   B．16C．11＋6   D．28(1)6　(2)B　[(1)∵x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，∴9－(x＋3y)＝xy＝×x×3y≤×2，当且仅当x＝3y时，等号成立，由因为x＞0，y＞0，计算得出∴x＋3y的最小值为6.(2)函数y＝loga(x＋4)－1(a＞0，a≠1)的图像恒过A(－3，－1)，由点A在直线＋＝－1上可得，＋＝－1，即＋＝1，故3m＋n＝(3m＋n)＝10＋3，因为m＞0，n＞0，所以＋≥2＝2(当且仅当＝，即m＝n时取等号)，故3m＋n＝10＋3≥10＋3×2＝16，故选B．]利用基本不等式解决实际问题【例3】　随着社会的发展，汽车逐步成为人们的代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生，据调查某段公路在某时段内的车流量y(单位：千辆/时)与汽车的平均速度v(单位：千米/时)之间有函数关系：y＝(v＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？[解]　(1)由题知，v＞0，则y＝＝≤＝＝，当且仅当v＝，即v＝40时取等号．所以ymax＝≈10.23.故当v＝40时，车流量y最大，最大约为10.23千辆/时．(2)由y＝≥10，得≥1，即90v≥v2＋8v＋1 600，整理得v2－82v＋1 600≤0，即(v－32)(v－50)≤0，解得32≤v≤50.所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，汽车的平均速度应大于等于32千米/时且小于等于50千米/时．[规律方法]　解实际应用题的三个注意点1设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解. 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)A．80元  B．120元  C．160元  D．240元C　[设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．]基本不等式的综合应用【例4】　(1)已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)A．9  B．12  C．18  D．24(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn(n∈N*)，若a1＝d＝1，则的最小值是________．(1)B　(2)　[(1)由＋≥，得m≤(a＋3b)＝＋＋6.又＋＋6≥2＋6＝12(当且仅当＝，即a＝3b时等号成立)，∴m≤12，∴m的最大值为12.(2)an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，∴＝＝≥＝，当且仅当n＝4时取等号．∴的最小值是.] (1)当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2＞0恒成立，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)　　　　　 B．(－∞，2－1)C．(－1,2－1)   D．(－2－1,2－1)(2)已知函数f(x)＝|lg x|，a＞b＞0，f(a)＝f(b)，则的最小值等于________．(1)B　(2)2　[(1)由32x－(k＋1)·3x＋2＞0，解得k＋1＜3x＋.∵3x＞0，∴3x＋≥2(当且仅当3x＝，即x＝log3时，等号成立)，∴3x＋的最小值为2.又当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2＞0恒成立，∴当x∈R时，k＋1＜min，即k＋1＜2，即k＜2－1.(2)由f(x)＝|lg x|，且f(a)＝f(b)可知|lg a|＝|lg b|，又a＞b＞0，∴lg a＝－lg b，即lg ab＝0，∴ab＝1.∴＝＝(a－b)＋≥2，当且仅当a－b＝时等号成立，∴的最小值为2.]