2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第6章第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[考纲传真]　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．2．线性规划中的相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解二元线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.2．常见目标函数的几何意义(1)z＝ax＋by：z表示直线y＝－x＋在y轴上的截距的b倍；(2)z＝：z表示可行域内的点(x，y)和点(a，b)连线的斜率；(3)z＝(x－a)2＋(y－b)2：z表示可行域内的点(x，y)和点(a，b)间的距离的平方．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．  (　　)(2)线性目标函数的最优解可能不唯一． (　　)(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域． (　　)(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)A．(0,0)　　　　　　　 B．(－1,1)C．(－1,3)   D．(2，－3)C　[∵－1＋3－1＞0，∴点(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内，故选C.]3．不等式组表示的平面区域是(　　)　　　        A　 　　　　B　 　　　　C　　　　　DC　[把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在x－3y＋6＜0表示的平面区域内，点(0,0)在x－y＋2≥0表示的平面区域内，故选C.]4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y的最大值为(　　)A.　　　B．1  C.　　　D．3D　[不等式组表示的可行域如图所示．由图可知，当过点A时，目标函数z＝x＋y取得最大值．又A(0,3)，故z＝0＋3＝3.故选D．]5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是__________．1　[不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)， 由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.]二元一次不等式(组)表示的平面区域1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是(　　)　　　　　　　    A　　　　　　　　　B　　　　　　　     C　　　　　　　　　DC　[(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即或与选项C符合．故选C.]2．已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为(　　)A．[－3,3]B．∪C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D．C　[满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线y＝kx－3过定点(0，－3)，所以当y＝kx－3过点C(1,0)时，k＝3；当y＝kx－3过点B(－1,0)时，k＝－3，所以当k≤－3或k≥3时，直线y＝kx－3与平面区域D有公共点．故选C.]3．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)A．－3　　　B．1　　　C.　　　D．3B　[如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，即m＞－1，所围成的区域为△ABC，S△ABC＝S△ADC－S△BDC.点A的纵坐标为1＋m，点B的纵坐标为(1＋m)，C，D两点的横坐标分别为2，－2m，所以S△ABC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1.][规律方法]　(1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解．求目标函数的最值►考法1　求线性目标函数的最值【例1】　(2019·济南模拟)设变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的取值范围为(　　)A．[－1,3]　　　　　　　　 B．[－1,6]C．[－1,5]   D．[5,6]B　[画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图知，当目标函数z＝2x－y经过点A(3,0)时取得最大值2×3－0＝6，经过点B(0,1)时取得最小值2×0－1＝－1，所以z的取值范围为[－1,6]，故选              B．]►考法2　求非线性目标函数的最值【例2】　(1)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)A．4   B．9C．10   D．12(2)若x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．(1)C　(2)3　[(1)如图，作出不等式组所表示的可行域(阴影部分)，设可行域内任一点P(x，y)，则x2＋y2的几何意义为|OP|2.显然，当点P与点A重合时，取得最大值．由解得A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.(2)由约束条件作出可行域如图，联立解得A.z＝的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则z＝的最大值为＝3.]►考法3　求参数的值或取值范围【例3】　已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)A.   B．C．1   D．2A　[约束条件对应的平面区域是以点(1，－2a)，(1,2)和(3,0)为顶点的三角形及其内部，当y＝－2x＋z经过点(1，－2a)时，z取得最小值1，则2－2a＝1，a＝，故选A.][规律方法]　1.求目标函数最值的解题步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得．(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．2．常见的三类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝.易错警示：注意转化的等价性及几何意义． (1)(2018·浙江高考)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．(2)已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________.(1)－2　8　(2)1　[(1)由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)，(1,1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2,2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.(2)作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－的动直线y＝－x＋，若m＜0，则－＞0，数形结合知使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m＞0，则－＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1.综上可知，m＝1.]线性规划的实际应用【例4】　某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：　　原料肥料　　ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分．图(1)(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图像是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图(2)可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．图(2)解方程组得点M的坐标为(20,24)，所以zmax＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[规律方法]　解线性规划应用题的步骤(1)设变量；(2)列约束条件；(3)建目标函数；(4)画可行域；(5)求最优解；(6)作答． 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　) 甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元   B．16万元C．17万元   D．18万元D　[设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.]1．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．6　[作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2,0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.]2.(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．－5　[作出可行域如图阴影部分所示．由z＝3x－2y，得y＝x－.作出直线l0：y＝x，并平移l0，知当直线y＝x－过点A时，z取得最小值．由得A(－1,1)，∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.]3．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．3　[画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时最大．由得∴A(1,3)．∴的最大值为3.]4．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．216 000　[设生产产品A x件，产品B y件，则目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]