2020高考数学文科大一轮复习导学案：第三章三角函数、解三角形3.4

 知识点一　　　 如下表所示 1．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是、、、、.解析：分别令x－＝0，，π，，2π，可求出x的值分别为，，，，.又因为A＝1，所以需要确定的五个点为：，，，，.2．定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是7.解析：在同一直角坐标系中，作出y＝cosx与y＝sin2x在区间[0,3π]上的图象(如图)．由图象知，两图象共有7个交点．知识点二　　　 3．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到的．(　√　)(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　×　)4．(2019·合肥市第一次质检)要想得到函数y＝sin2x＋1的图象，只需将函数y＝cos2x的图象(　B　)A．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：先将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得y＝sin2x＋1的图象．故选B.知识点三,　　　1．振幅为A.2．周期T＝.3．频率f＝＝.4．相位是ωx＋φ.5．初相是φ.5．(必修4P58习题1.5第4题改编)电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是i＝5sin，t∈[0，＋∞)，则电流i变化的初相、周期分别是，.解析：由初相和周期的定义，得电流i变化的初相是，周期T＝＝.6．(必修4P62例4改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为y＝10sin＋20，x∈[6,14]．解析：从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，又×＝14－6，所以ω＝.又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．   　　　　　　　　　　　　　　考向一　五点法作图 【例1】　(2019·景德镇测试)已知函数f(x)＝4cosx·sin＋a的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．【解】　(1)f(x)＝4cosxsin＋a＝4cosx·＋a＝sin2x＋2cos2x＋a＝sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin＋1＋a∵f(x)的最大值为2，∴a＝－1，最小正周期T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：x0π2x＋π2πf(x)＝2sin120－201画图如下： 　　用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式；(2)确定周期；(3)确定一个周期内函数图象的最高点和最低点；(4)选出一个周期内与x轴的三个交点；(5)列表；(6)描点． 用五点法作出y＝2sin(2x＋)在内的图象．解：2(－)＋＝－，2()＋＝，∴令2x＋＝0，∴x＝－.2x＋＝，∴x＝.2x＋＝π，∴x＝.2x＋＝，∴x＝.列表如下：2x＋－0πx－－y－020－2－描点作图．考向二　　三角函数的图象变换 【例2】　(1)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为(　　)A．y＝sin   B．y＝sinC．y＝sin   D．y＝sin(2)如何由y＝sin的图象得y＝sinx的图象？【解析】　(1)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin2x的图象，再把该函数图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin2＝sin的图象．故选A.(2)把y＝sin(2x＋)图象上各点的纵坐标都伸长到原来的3倍(横坐标不变)得y＝sin(2x＋)的图象，再把y＝sin(2x＋)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin(x＋)的图象，再把y＝sin(x＋)的图象上所有点向右平移，得y＝sinx的图象．【答案】　(1)A　(2)见解析 由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换中平移的量的区别：先平移再伸缩，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩再平移，平移的量是(ω>0)个单位长度．特别提醒：平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． (1)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin2x的图象(　B　)A．向右平移个单位长度   B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度   D．向左平移个单位长度(2)(2019·南昌摸底调研)函数y＝sin(＋)的图象可以由函数y＝cos的图象(　B　)A．向右平移个单位长度得到B．向右平移个单位长度得到C．向左平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到解析：(1)y＝sin＝sin2，故将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象．(2)解法1：由y＝cos＝sin(＋)，y＝sin[(x－)＋]＝sin(＋)，知函数y＝sin(＋)的图象可以由y＝cos的图象向右平移个单位长度得到．解法2：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选B.考向三　　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 【例3】　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________.【解析】　(1)由题图可知A＝，法1：＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，又对应五点法作图中的第三个点，因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.法2：以为第二个“零点”，(，－)为最小值点，列方程组解得故f(x)＝sin.(2)依题意得＝2，则＝2，即ω＝，所以f(x)＝sin，由于该函数图象过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sinφ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f(x)＝sin.【答案】　(1)f(x)＝sin(2)sin  (1)(2019·南宁市摸底联考)如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，|φ|<)的图象过点(0，)，则f(x)的函数解析式为(　B　)A．f(x)＝2sin(2x－)B．f(x)＝2sin(2x＋)C．f(x)＝2sin(2x＋)D．f(x)＝2sin(2x－)(2)(2019·开封高三定位考试) 如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为(　B　)A．1  B．2C．3   D．4解析：(1)由函数图象可知，A＝2，又函数f(x)的图象过点(0，)，所以2sinφ＝，即sinφ＝，由于|φ|<，所以φ＝，于是f(x)＝2sin(2x＋)，故选B.(2)由f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝及其图象知，<×<1，即<ω<π，所以正整数ω＝2或3.由函数f(x)的图象经过点(1,0)，得f(1)＝＝0，得2ω＋2φ＝2kπ(k∈Z)，即2φ＝2kπ－2ω(k∈Z)．由图象知f(0)>，即＝>，得cos2ω<0，所以ω＝2，故选B.考向四　利用三角函数的图象研究性质 【例4】　(1)将函数y＝f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则下面对函数y＝g(x)的叙述正确的是(　　)A．函数g(x)＝2sinB．函数g(x)的周期为πC．函数g(x)的一个对称中心为点D．函数g(x)在区间上单调递增(2)已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．【解析】　(1)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，可得函数y＝2sin＝2sin的图象；再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝2sin的图象，故g(x)的周期为＝，排除A，B.令x＝－，求得g(x)＝0，可得g(x)的一个对称中心为点，故C满足条件．在区间[，]上，4x＋∈[π，]，函数g(x)没有单调性，故排除D.(2)方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0⇔m＝2sin，要使原方程在上有两个不同实根，函数y＝2sin与y＝m在上有两个不同交点，如图，需满足1≤m<2.【答案】　(1)C　(2)1≤m<2 1研究y＝Asinωx＋φ的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.2方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. (1)(2019·武汉市调研考试)将函数y＝sin2x的图象上的点P(，t)按向量a＝(m,0)(m>0)平移后得到点P′.若点P′在函数y＝sin(2x－)的图象上，则(　C　)A．t＝，m的最小值为　 B．t＝，m的最小值为C．t＝，m的最小值为   D．t＝，m的最小值为(2)若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为π.解析：(1)由题可得P′(＋m，t)，又P′在y＝sin(2x－)的图象上，所以t＝sin[2(＋m)－]，即t＝sin2m(m>0)，因为P(，t)在函数y＝sin2x的图象上，所以t＝，此时m的最小值为，故选C.(2)∵f(0)＝f，∴x＝是f(x)图象的一条对称轴，∴f＝±1，∴×ω＋＝＋kπ，k∈Z，∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z)．又f(x)在上有且只有一个零点，∴≤≤－，∴≤T≤，∴≤≤(k∈Z)，∴－≤k≤，又∵k∈Z，∴k＝0，∴T＝π.