2020高考数学文科大一轮复习导学案：第二章函数、导数及其应用2.3导学案





知识点一 函数的奇偶性


1．判断正误
(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　×　)
(2)若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　)
(3)若函数y＝f(x＋b)是定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(　√　)
2．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是(　B　)
A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx
C．y＝|lnx| D．y＝2－x
解析：根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．
3．(必修1P39A组第6题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　A　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.

知识点二 周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

4．判断正误
(1)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(　√　)
(2)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0.(　√　)
5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 015)＝(　D　)
A．5 B．
C．2 D．－2
解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.

1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
　　　　　　　　　　　　　　

考向一 函数的奇偶性
方向1　函数奇偶性的判断
【例1】　(2019·福州市一模)下列函数为偶函数的是(　　)
A．y＝tan(x＋) B．y＝x2＋e|x|
C．y＝xcosx D．y＝ln|x|－sinx
【解析】　对于选项A，易知y＝tan(x＋)为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝xcosx，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以y＝xcosx为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sinx，则f(2)＝ln2－sin2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sinx为非奇非偶函数，故选B.
【答案】　B
方向2　函数奇偶性的应用
【例2】　(1)(2019·贵阳市摸底考试)已知函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为(　　)
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
(2)(2019·河南许昌二模)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)
A．0 B．2
C．4 D．8
【解析】　(1)解法1：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1>1，所以0f(6)，所以f(3)>f(6)．



奇、偶函数的一组性质及其应用
函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出．这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐．若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果．笔者撷取近年高考题和联赛题为例，归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用．
性质1　若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c.
简证　由于函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c.
典例1　已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝(　　)
A．－5　　　　　　　　　　B．－1
C．3 D．4
【解析】　设g(x)＝ax3＋bsinx，则f(x)＝g(x)＋4，且函数g(x)为奇函数．
又lg(lg2)＋lg(log210)＝lg(lg2·log210)＝lg1＝0，所以f(lg(lg2))＋f(lg(log210))＝2×4＝8，所以f(lg(lg2))＝3.故选C.
【答案】　C
典例2　设函数f(x)＝的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N＝________.
【解析】　f(x)＝＝＝＋1.设g(x)＝，则f(x)＝g(x)＋1，且函数g(x)为奇函数．对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即[g(x)]max＋[g(x)]min＝0，而M＝[g(x)]max＋1，N＝[g(x)]min＋1，所以M＋N＝2.
【答案】　2
性质2　若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称．
简证　函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象可由f(x)的图象平移得到，不难知结论成立．
典例3　(2019·武汉市调研)函数f(x)＝＋＋的对称中心为(　　)
A．(－4,6) B．(－2,3)
C．(－4,3) D．(－2,6)
【解析】　设g(x)＝－－－.
则g(－x)＝－－－
＝＋＋＝－g(x)，故g(x)为奇函数．
易知f(x)＝3－(＋＋)＝g(x＋2)＋3，所以函数f(x)的对称中心为(－2,3)．故选B.
【答案】　B
典例4　设α，β分别满足方程α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，则α＋β＝________.
【解析】　设g(x)＝x3＋2x，则g(x)为单调递增的奇函数．设f(x)＝x3－3x2＋5x，则f(x)＝g(x－1)＋3，故f(x)关于点(1,3)中心对称．
观察题目条件α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，知f(α)＝4，f(β)＝2.
所以f(α)＋f(β)＝6，则点(α，4)与点(β，2)关于点(1,3)对称，故α＋β＝2.
【答案】　2
性质3　若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
简证　当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)；
当xf(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)
A．(，1)
B．(－∞，)∪(1，＋∞)
C．(－，)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)．
【解析】　易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．
当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增．
所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得