2020高考数学文科大一轮复习导学案：第二章函数、导数及其应用2.1导学案

第二章　函数、导数及其应用




知识点一 函数与映射的概念
1．函数的定义
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
2．映射的定义
设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．

1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　B　)
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．
2．(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　B　)

解析：A中函数定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0,2]．
知识点二 函数的三要素及表示方法
1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
3．表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．函数f(x)＝＋的定义域为(　C　)
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：由题意得解得x≥0且x≠2.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝12.
解析：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.
知识点三 分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

5．(2019·陕西质量检测)设x∈R，定义符号函数sgnx＝则函数f(x)＝|x|sgnx的图象大致是(　C　)

解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f(x)＝x，故选C.
6．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为.
解析：因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f(x)＝
所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f()＝cos＝.

1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．
直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．
3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题．
　　考向一 函数的概念
【例1】　(1)下列所给图象是函数图象的个数为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
(2)给出下列命题：
①函数是其定义域到值域的映射；
②f(x)＝＋是一个函数；
③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；
④f(x)＝lgx2与g(x)＝2lgx是同一函数．
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】　(1)①中当x>0时，每一个x值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x值对应唯一的y值，因此是函数图象．
(2)由函数的定义知①正确．因为满足f(x)＝＋的x不存在，所以②不正确．又因为y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，所以③不正确．又因为f(x)与g(x)的定义域不同，所以④也不正确．
【答案】　(1)B　(2)A

(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓.
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数.
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余.

有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确判断的序号是②③.
解析：对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.
综上可知，正确的判断是②③.
考向二 函数的定义域
【例2】　(1)函数f(x)＝ln＋
的定义域为(　　)
A．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
B．(－4,0)∪(0,1)
C．[－4,0)∪(0,1)
D．[－4,0)∪(0,1]
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017]
C．[0,2 018] D．[－1,1)∪(1,2 018]
【解析】　(1)由解得－4≤x