2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第14讲 函数模型及其应用
展开第14讲 函数模型及其应用
1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型)的广泛应用．
知识梳理
1．幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异
在区间(0，＋∞)，尽管y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是 增函数 ，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增长，y＝ax(a>1)的增长速度越来越 快 ，会超过并远远 大于 y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越 慢 ，因而总存在一个x0，当x>x0时，就会有 logax<xn<ax(a>1) .
2．应用问题的解法
解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把 实际问题 抽象转化为 数学问题 ，然后用相应的数学知识去解决，其一般步骤为：
(1)审题：阅读题目、理解题意，分析题目中的条件和结论，理顺有关数量关系；
(2)建模：设置变量、将文字语言、图表语言等转换成符号语言，建立适当的数学模型；
(3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问题的结论；
(4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的回答．
热身练习
1．当x>0时，比较y＝log5x，y＝5x，y＝x5三个函数，下列说法正确的是(B)
A．y＝5x的图象始终在最上方
B．当x增长到足够大时，y＝5x的图象始终在最上方
C．y＝x5的图象与y＝5x的图象会不断穿插交汇，有无数个交点
D．y＝log5x的图象与y＝x5的图象有一个交点
画出三个函数的图象，并结合它们的增长情况分析应选B.
2．方程x2＝2x解的个数为(C)
A．1 B．2
C．3 D．4
画出y＝x2和y＝2x的图象，结合它们的增长情况，观察它们有3个交点，所以有3个解．
3．某市生产总值两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产的年平均增长率为(D)
A. B.
C. D.－1
设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
所以x＝－1.
4．一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，则年产量y随经过年数x变化的函数关系式为 y＝a(1＋p%)x(x∈N*，且x≤m) .
5．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大．设隔墙的长度为x，矩形的面积为S.
(1)S关于x的函数关系为 S＝－2x2＋12x(0<x<6) ；
(2)当x＝ 3 时，S有最大值 18 .
二次函数模型
加工爆米花时，爆开且不煳的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
由已知得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－(t－)2＋.
所以当t＝＝3.75时，p最大，
即最佳加工时间为3.75分钟．
B
实际生活中的二次函数问题(如利润、面积、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、最值、零点等知识解决，解题时要注意函数的定义域．
1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(B)
A．45.606(万元) B．45.6(万元)
C．45.56(万元) D．45.51(万元)
依题意可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，
所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)，
因为x∈N，所以x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
指数、对数函数模型
现有某种细胞100个，其中每小时有占总数的细胞分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律下去．回答下列问题：
(1)细胞总数y与时间x(小时)的函数关系为____________；
(2)至少经过________小时，细胞总数可以超过1010个(参考数据：lg 3≈0.4771，lg 2≈0.3010)．
(1)从特殊入手，采用归纳的方法，得到所求函数关系式．
现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后细胞的总数，
1小时后，细胞总数为
×100＋×100×2＝×100；
2小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
3小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
4小时后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为
y＝100×()x，x∈N*.
(2)由100×()x>1010，得()x>108，
两边取以10为底的对数，
得xlg>8，所以x>，
因为≈≈45.43，
所以x>45.43.
即至少经过46小时，细胞总数超过1010个．
(1)y＝100×()x，x∈N*； (2)46
(1)在求解应用题时，要在认真审清题意，理顺关系上下功夫，设计合理的解题方案．
(2)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2．(经典真题改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(B)
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2021年 B．2022年
C．2023年 D．2024年
设2018年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，
由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，
两边取对数，得n>≈＝，
所以n≥4，
所以从2022年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
分段函数模型
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润f(x)表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)
(1)由已知总收益＝总成本＋利润，知道利润＝总收益－总成本．由于R(x)是分段函数，所以利润f(x)也是分段函数；(2)分别求出f(x)各段中的最大值，通过比较就可以求出f(x)的最大值．
(1)设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，
从而：
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－(x－300)2＋25000，
当x＝300时，有最大值25000；
当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数，
则f(x)<60000－100×400＝20000<25000.
所以当x＝300时，f(x)有最大值25000.
所以当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．
(1)分段函数的特征是每一段自变量所遵循的规律不同，因此，要根据每一段上函数表达式的特点选择相应的求解方法．
(2)分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后进行比较．
3．某市2018年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内(以30天计)，民族文化旅游人数f(x)(万人)与时间x(天)的函数关系近似地满足f(x)＝4(1＋)，人均消费g(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似地满足g(x)＝104－|x－23|.
(1)求该市旅游收益p(x)(万元)与时间x(1≤x≤30，x∈N*)的函数关系式；
(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资．
(1)由题意知p(x)＝f(x)g(x)
＝4(1＋)(104－|x－23|)(1≤x≤30，x∈N*)．
(2)由p(x)＝
①当1≤x≤23时，
p(x)＝4(1＋)(81＋x)
＝4(82＋x＋)≥4(82＋2)＝400.
当且仅当x＝，即x＝9时，p(x)取得取小值400.
②当23<x≤30时，
p(x)＝4(1＋)(127－x)＝4(126＋－x)．
设h(x)＝－x，则有h′(x)＝－－1<0，
所以h(x)在(23,30]为减函数，则p(x)在(23,30]上也是减函数，
所以当x＝30时，p(x)min＝4(126＋－30)＝400＋>400.
所以当x＝9时，p(x)取得最小值400万元．
则两年内的税收为
400×15%×30×12×2×1.5%＝648>600.
所以600万元的投资可以在两年内收回．
1．解答数学应用题的关键有两点：
一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象、概括，将实际问题归结为相应的数学问题．
二是要合理选取参变量，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型，最终求解数学模型使实际问题获解．
2．在引入自变量建立目标函数解决实际问题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验结果，看是否符合实际问题的要求．
