2020版物理新增分大一轮新高考（京津鲁琼）讲义：第四章曲线运动万有引力与航天第4讲

第4讲　万有引力定律及应用

一、开普勒三定律
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
＝k，k是一个与行星无关的常量

自测1　(2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案　B
解析　开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，牛顿发现了万有引力定律．
二、万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
4．天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
G＝ma＝
自测2　(2018·四川省第二次“联测促改”)在距地面不同高度的太空有许多飞行器．其中“天舟一号”距地面高度约为393 km，哈勃望远镜距地面高度约为612 km，“张衡一号”距地面高度约为500 km.若它们均可视为绕地球做圆周运动，则(　　)
A．“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度
B．哈勃望远镜的线速度大于“张衡一号”的线速度
C．“天舟一号”的周期大于哈勃望远镜的周期
D．哈勃望远镜的角速度大于“张衡一号”的角速度
答案　A
解析　根据万有引力提供飞行器的向心力，＝ma，a＝，“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度，故A正确； 根据万有引力提供飞行器的向心力，＝m，v＝，哈勃望远镜的线速度小于“张衡一号”的线速度，故B错误；根据万有引力提供飞行器的向心力，＝mr，T＝，“天舟一号”的周期小于哈勃望远镜的周期，故C错误；根据万有引力提供飞行器的向心力，＝mω2r，ω＝，哈勃望远镜的角速度小于“张衡一号”的角速度，故D错误．
三、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.
(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
(4)第一宇宙速度的计算方法．
由G＝m得v＝；
由mg＝m得v＝.
2．第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
自测3　(多选)已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法中正确的是(　　)
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的
答案　CD
解析　根据三个宇宙速度的定义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火＝，
R火＝，
则＝∶＝，选项D正确．

命题点一　开普勒三定律的理解和应用
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1　(多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中(　　)

图1
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
答案　CD
解析　由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确．
变式1　火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案　C
解析　由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确．对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，D错误．
变式2　(多选)(2010·山东卷·18)1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．如图2，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2 384 km，则(　　)

图2
A．卫星在M点的势能大于N点的势能
B．卫星在M点的角速度大于N点的角速度
C．卫星在M点的加速度大于N点的加速度
D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s
答案　BC
解析　卫星由M点向N点运动的过程中，万有引力做负功，势能增加即M点的势能小于N点的势能，故选项A错误；由开普勒第二定律可知地球球心和卫星连线在相等时间内扫过的面积相等，近地点的角速度要大于远地点的角速度，B正确；由G＝ma知a＝，所以aM>aN，故选项C正确；7.9 km/s是卫星围绕地球表面转动的速度，是卫星绕地球转动的最大速度，vNr乙，故T甲>T乙，选项A正确；贴近地表运行的卫星的速度称为第一宇宙速度，由G＝知v＝，r乙>R地，故v乙比第一宇宙速度小，选项B错误；由G＝ma，知a＝，r甲>r乙，故a甲r中>r近，所以这两颗卫星在其轨道上运行的速率大于同步卫星的速率，小于第一宇宙速度的大小，故A错误，D正确；G＝mr，解得M＝，已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期和万有引力常量，不知这两颗卫星的轨道半径，所以不能求出地球质量，故B错误；G＝mr，解得M＝，已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期与轨道半径，能求出地球质量，地球密度ρ＝，地球的半径不知道，不能求出地球密度，故C错误．
11．(多选)(2018·山东省济宁市上学期期末)如图3所示，A为置于地球赤道上的物体，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点，已知A、B、C绕地心运动的周期相同，下列说法正确的是(　　)

图3
A．卫星C的运行速度小于物体A的速度
B．物体A和卫星C具有相同大小的加速度
C．卫星B和卫星C在P点的加速度大小相等
D．卫星B运动轨道的半长轴与卫星C运动轨道的半径相等
答案　CD
解析　物体A和卫星C的周期相等，则角速度相等，根据v＝rω知，半径越大，线速度越大，所以卫星C的运行速度大于物体A的速度，故A错误；物体A静止于地球赤道上随地球一起自转，卫星C绕地球做圆周运动，根据a＝ω2r，卫星C的加速度较大，故B错误；根据a＝知，两卫星在P点到地心的距离相等，则加速度大小相等，故C正确；卫星B、C绕地心运动的周期相同，根据开普勒第三定律得卫星B运动轨道的半长轴与卫星C运动轨道的半径相等，故D正确．
12．(2018·吉林省长春市八中模拟)如图4，假设某星球表面上有一倾角为θ＝37°的固定斜面，一质量为m＝2.0 kg的小物块从斜面底端以速度9 m/s沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s时速度恰好为零．已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R＝1.2×103 km(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，试求：

图4
(1)该星球表面上的重力加速度g的大小；
(2)该星球的第一宇宙速度．
答案　(1)7.5 m/s2　(2)3.0×103 m/s
解析　(1)由牛顿第二定律得：mgsin θ＋μmgcos θ＝ma
a＝＝ m/s2＝6 m/s2
联立可得：g＝7.5 m/s2
(2)对该星球表面的物块：＝mg
对在该星球表面附近运行的卫星：＝m′
故：v＝，代入数据得v＝3.0×103 m/s.