2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第五章　平面向量与复数5.3

§5.3　平面向量的数量积
最新考纲
考情考向分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.



1．两个向量的夹角
(1)定义
已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)范围
向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
(3)向量垂直
如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2．向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量．

＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.
3．向量的数量积
(1)向量的数量积(内积)的定义
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)向量数量积的性质
①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；
②a⊥b⇔a·b＝0；
③a·a＝|a|2，|a|＝；
④cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0)；
⑤|a·b|≤|a||b|.
(3)向量数量积的运算律
①交换律：a·b＝b·a.
②对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(4)向量数量积的坐标运算与度量公式
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
①a·b＝a1b1＋a2b2；
②a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；
③|a|＝；
④cos〈a，b〉＝.
概念方法微思考
1．a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？
提示　不相同．因为a在b方向上的正投影为|a|cos θ，而b在a方向上的正投影为|b|cos θ，其中θ为a与b的夹角．
2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？
提示　不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.


题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量．(　√　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)
(5)两个向量的夹角的范围是.(　×　)
(6)若a·b0，∴|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1
＝22－.
∵x∈，∴≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；
当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.
思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos ＝，
即sin x－cos x＝，
所以sin＝，
因为00”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案　B
解析　向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，
则ka－2b＝.
若ka－2b与a垂直，则k－4＋k＋6＝0，
解得k＝－1.故选B.
3．(2018·乌海模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于(　　)
A．2 B.
C. D．2
答案　A
解析　根据题意，|a－b|＝＝，
则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b ＝5－2a·b＝5，
可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，
可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，
则＝2，故选A.
4．(2018·辽阳模拟)非零向量a，b 满足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b 与b 夹角θ的大小为(　　)
A．135° B．120°
C．60° D．45°
答案　A
解析　∵非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，
∴a2＝a·b，由|a－b|＝|a| 可得，
a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝|a|，
∴cos θ＝＝
＝＝－，
∴θ＝135°，故选A.
5．(2019·丹东模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的正投影为(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
答案　D
解析　由题意可得 |a|＝|b|＝1，
且 a·b＝|a|×|b|×cos 60°＝，
a·(a－b)＝a2－a·b＝1－＝，
则向量a－b在向量a方向上的正投影为
＝＝.故选D.
6．(2018·通辽质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则·的取值范围是(　　)
A．[－1,0] B．[－1,2]
C．[－1,3] D．[－1,4]
答案　C
解析　如图所示，

由题意可得，点M所在区域的不等式表示为(x－1)2＋(y－1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2)．
可设点M(x，y)，
A(0,0)，B(2,0)．
∴·＝(－x，－y)·(2－x，－y)
＝－x(2－x)＋y2＝(x－1)2＋y2－1，
由∈[0,2]，
∴·∈[－1,3]，故选C.
7．(2018·营口模拟)若平面向量a，b满足·b＝7，|a|＝，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________．
答案　
解析　∵(a＋b)·b＝a·b＋b2＝7，
∴a·b＝7－b2＝3.
设向量a与b的夹角为α，
则cos α＝＝＝.
又0≤α≤π，∴α＝，
即向量a与b的夹角为.
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，则a在b方向上的正投影为________．
答案　－
解析　向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，
∴|a＋b|＝
＝＝＝，
解得a·b＝－1.
a在b方向上的正投影为＝＝－.


9.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中点，则·的值为________．

答案　－17
解析　如图，建立平面直角坐标系，

则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2)．
则＝(3，－4)，＝(－3,2)．
∴·＝3×(－3)－4×2＝－17.
10.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则·＝________.

答案　－
解析　利用向量的加减法法则可知，
·＝(＋)·(－＋)
＝(－2＋2)＝－.
11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，
所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||·sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
12．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求·(＋)的最小值．
解　方法一　设BC的中点为D，AD的中点为E，

则有＋＝2，
则·(＋)＝2·
＝2(＋)·(－)
＝2(2－2)．
而2＝2＝，
当P与E重合时，2有最小值0，
故此时·(＋)取最小值，
最小值为－22＝－2×＝－.
方法二　以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，

则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，
设P(x，y)，取BC的中点D，
则D.
·(＋)＝2·
＝2(－1－x，－y)·
＝2
＝2.
因此，当x＝－，y＝时，
·(＋)取最小值，为2×＝－.

13．(2018·南宁摸底)已知O是△ABC内部一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵＋＋＝0，
∴＋＝－，
∴O为三角形的重心，
∴△OBC的面积为△ABC面积的，
∵·＝2，
∴||||cos∠BAC＝2，
∵∠BAC＝60°，∴||||＝4，
△ABC的面积为||||sin∠BAC＝，
∴△OBC的面积为，故选A.
14．(2019·衡阳模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设BC的中点为D，
因为点G是△ABC的重心，
所以＝＝×(＋)＝(＋)，
再令||＝c，||＝b，
则·＝bccos 120°＝－3，所以bc＝6，
所以||2＝(||2＋2·＋||2)
＝(c2＋b2－6)≥(2bc－6)＝，
所以||≥，
当且仅当b＝c＝时取等号，故选B.

15.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝，BC＝2，点E为AB的中点，若·＝－2，则向量在向量上的投影为________．

答案　－
解析　如图，以BC，BA为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(2,0)，B(0,0)，A(0，)，E.

设AD＝a，则D(a，)，
则＝，＝(a，)，
∴·＝－2a＋1＝－2，a＝，＝，
∴·＝·(2,0)＝－1，
∴在方向上的投影是－.
16.如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，求·的最大值．

解　设∠OBC＝θ，
则B，C，
A，
M，
·＝×＋2sin×sin
＝4cos2θ＋2cos2－6cos θcos＋2sin2
＝2＋4cos2θ－6cos θcos
＝2＋4cos2θ－6cos θ
＝2＋cos2θ＋3sin θcos θ＝＋cos 2θ＋sin 2θ
＝＋sin.
∴·的最大值为＋.