2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第五章第四节　数列求和与数列的综合应用 学案

第四节　数列求和与数列的综合应用
2019考纲考题考情



1．公式法与分组求和法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d。
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝
(2)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。
2．倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加法
如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。
(2)并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧
①＝－。
②＝。
③＝。
④＝－。
⑤＝。
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。


　
1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点。
2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。

一、走进教材
1．(必修5P47B组T4改编)数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　)
A．2 014 B．2 015
C．2 016 D．2 017
解析　an＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2 017。故选D。
答案　D
2．(必修5P61T4(3)改编)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)。
解析　设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1　①，则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn　②，①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，所以Sn＝－。
答案　－
二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________。
解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由解得a1＝1，d＝1，所以an＝n，Sn＝，所以＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＋＝2×＝2×＝。
答案　
4．(2018·浙江高考)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)。若a1>1，则(　　)


A．a1a4
解析　因为函数y＝lnx在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，所以lnx≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，所以a4≤－1，又a1>1，所以等比数列的公比q1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，与ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－10，与ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－11，所以q＝2。
(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}前n项和为Sn。
由cn＝解得cn＝4n－1。
由(1)可知an＝2n－1，
所以bn＋1－bn＝(4n－1)·n－1，
故bn－bn－1＝(4n－5)·n－2，n≥2，
bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·n－2＋(4n－9)·n－3＋…＋7·＋3。
设Tn＝3＋7·＋11·2＋…＋(4n－5)·n－2，n≥2，
Tn＝3·＋7·2＋…＋(4n－9)·n－2＋(4n－5)·n－1，
所以Tn＝3＋4·＋4·2＋…＋4·n－2－(4n－5)·n－1＝7－(4n＋3)·n－1，
因此Tn＝14－(4n＋3)·n－2，n≥2，
又b1＝1适合上式，
所以bn＝15－(4n＋3)·n－2。



用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号。(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和。
【变式训练】　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1。
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn。
解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，
所以an＝6n＋5。
设数列{bn}的公差为d。
由即
可解得所以bn＝3n＋1。
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得
－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×
＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2。
考点三 裂项相消法求和
【例3】　已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn。
解　(1)因为数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8。
所以⇒⇒q3＝＝8⇒q＝2⇒an＝a1·qn－1＝2n－1。
(2)由(1)可知Sn＝＝＝2n－1，
所以bn＝＝－，
所以Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－。



1．用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝，裂项后可以产生连续相互抵消的项。
2．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项。
【变式训练】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn