2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第四章第四节　数系的扩充与复数的引入 学案

 第四节　数系的扩充与复数的引入2019考纲考题考情1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部。若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数。(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)。(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)。(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。(5)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝。2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi　复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)。(2)复数z＝a＋bi　平面向量(a，b∈R)。3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)则：①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i。②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i。③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i。④除法：＝＝(c＋di≠0)。(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)。　1．复数a＋bi(a，b∈R)数系表复数2．i的乘方具有周期性in＝(k∈Z)。3．复数的模与共轭复数的关系：z·＝|z|2＝||2。 一、走进教材1．(选修2－2P106A组T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)A．1 B．2C．1或2 D．－1解析　依题意，有解得a＝2。故选B。答案　B2．(选修2－2P112A组T5(3)改编)复数2的共轭复数是(　　)A．2－i B．2＋iC．3－4i D．3＋4i解析　2＝2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是3－4i。故选C。答案　C二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅱ)＝(　　)A．－－i B．－＋iC．－－i D．－＋i解析　因为＝＝＝－＋i。故选D。答案　D4．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i解析　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i。答案　D三、走出误区微提醒：①复数的几何意义不清致误；②复数的运算方法不当致使出错；③z与的不清致误。5．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B。若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i解析　因为A(6,5)，B(－2,3)，所以线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i。故选C。答案　C6．若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)A．－4 B．－3C．3 D．4解析　由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4。故选D。答案　D7．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________。解析　因为＝＝＝＝2－i，所以z＝2＋i。答案　2＋i　　　　　考点一   复数的有关概念【例1】　(1)(2019·河北衡水中学模拟)已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z＋3i＝a＋ai，若复数z是纯虚数，则(　　)A．a＝3 B．a＝0C．a≠0 D．a<0(2)(2019·山东枣庄模拟)设复数z＝(其中i为虚数单位)，则复数z的实部为________，虚部为________。解析　(1)由z＋3i＝a＋ai，得z＝a＋(a－3)i，又因为复数z是纯虚数，所以解得a＝0。故选B。(2)z＝＝＝2＋i，所以复数z的实部为2，虚部为1。答案　(1)B　(2)2　1  复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解。 【变式训练】　(1)已知复数z＝1＋i，则下列说法中正确说法的个数为(　　)①|z|＝；②＝1－i；③z的虚部为i；④z在复平面上对应的点在第一象限。A．1　　　　B．2  C．3　　　　D．4(2)复数z＝的共轭复数是(　　)A．－1＋4i B．－1－4iC．1＋4i D．1－4i(3)若复数(1＋ai)2－2i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a＝(　　)A．0　　　B．±1  C．1　　　D．－1解析　(1)因为复数z＝1＋i，所以|z|＝，＝1－i，z的虚部为1，z在复平面上对应的点(1,1)在第一象限，即①②④中的说法正确，③中的说法错误。故选C。(2)z＝＝＝－1－4i，所以复数z＝的共轭复数是－1＋4i。故选A。(3)(1＋ai)2－2i＝1－a2＋2ai－2i，因为(1＋ai)2－2i是纯虚数，所以即a＝－1。故选D。答案　(1)C　(2)A　(3)D考点二   复数的几何意义　【例2】　(1)复数z＝(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)A．＋ B．＋C.－ D.－解析　(1)因为z＝＝＝＝＝＋i，所以z在复平面内所对应的点在第一象限。故选A。(2)由|z|≤1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y≥x的区域，该区域的面积为π－×1×1＝π－，故满足y≥x的概率为＝－。故选D。答案　(1)A　(2)D  1．复数z、复平面上的点Z及向量一一对应，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔。2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。 【变式训练】　(1)如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)A．1＋3i B．－3－iC．3－i D．3＋i(2)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R，x≠0)且|z－2|＝，则的取值范围是________。解析　(1)由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故选D。(2)因为|z－2|＝|x－2＋yi|，|z－2|＝，所以(x－2)2＋y2＝3。设＝k，则y＝kx。联立化简为(1＋k2)x2－4x＋1＝0。因为直线y＝kx与圆有公共点，所以Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，所以的取值范围为[－，]。答案　(1)D　(2)[－，]考点三   复数的运算【例3】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)A．0　　　B．  C．1　　　D.(2)(2018·天津高考)i是虚数单位，复数＝______。(3)(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________。解析　(1)因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1。故选C。解析：因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝＝＝＝1，故选C。(2)＝＝＝4－i。(3)复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2。答案　(1)C　(2)4－i　(3)2  1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算。2．复数除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式。 【变式训练】　(1)若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为(　　)A．　　　B．i  C．1　　　D．i(2)(2019·昆明质检)设复数z满足＝1－i，则z＝(　　)A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i(3)已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为________。解析　(1)由题意可知z＝＝＝＝＋i，故其虚部为。故选A。(2)由题意得z＝＝＝＝－1＋i。(3)因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2018＝4×504＋2，所以z＝＝＝＝＝＝i，对应的点为(0,1)。答案　(1)A　(2)C　(3)(0,1)